Ecuación de suma de fracciones

Del enunciado: (a-2010)/b+(b+2010)/a=2 tal que a desigual de b ^ a desigual de 0 ^ b desigual de 0.

Suma de fraciones
(a^2-a2010+b^2+b2010)/ba=2
Multiplicando a ambos lados de la igualdad por "ba".
(a^2-a2010+b^2+b2010)=2ba
Factor comun 2010
a^2+(b-a)2010+b^2=2ba
sumamos y restamos a ambos lados de la igualdad -2ba ^ -2010(b-a)
a^2+b^2-2ba=-(b-a)2010
producto notable
(b-a)^2=-(b-a)2010
división a ambos lados de la igualdad por el factor (b-a)
b-a=-2010
del que se traduce que b=-2010-a quedando así uno en función del otro.

Curiosidad
(b-a)^2=-(b-a)2010
Al dividir a ambos lados de la igualdad por el factor (b-a) podemos hacer igualdad de términos de el denominador 1=(b-a)
y de los numeradores (b-a)^2=-2010 el cual se puede simplificar en (b-a)=(-2010)^(1/2)
generando así una igualdad donde 1=(-2010)^(1/2)?

Hola Scarbil, bienvenido a MaTeTaM:

Identificas las operaciones que debes hacer y las ejecutas correctamente...  y muy bien reconocido el binomio cuadrado. Y das la respuesta correcta. Sigue así campeón.

Respecto a tu pregunta la respuesta es NO. Quizá te convenza esto:  6/12=3/6, pero 6 es distinto de 3 y 12 de 6. En general no es válido la igualación que propones, salvo en casos especiales que después aprenderás...

Te saluda

Desarrollas la ecuación, teniendo en cuenta la expresión que te dará un binomio al cuadrado, despejas las variables, simplificando "a - b" y finalmente la respuesta es 2010. Cualquier consulta me respondes a este mensaje.

Tenemos que: $\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$ entonces sumamos par dejar con mismo denominador y queda $\frac{a^{2}-2010a+b^{2}+2010b}{ab}=2$ despejamos y queda $a^{2}-2010a+b^{2}+2010b=2ab$ entonces $a^{2}-2ab+b^{2}=2010a-2010b$ y factorizamos y $(a-b)^{2}=2010(a-b)$ y finalmente $a-b=2010$

Hay un error que todos han cometido en su solución.

1. Verifiquen que cuando $a=b=1$ se satisface la ecuación
   $$\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$$
    
2. Entonces $a -b = 1 - 1 = 0$. ¿Que no debía ser $a - b =2010$?

 

Me parece que es porque en el problema dice que a,b son enteros distintos entre sí.

Me parece que es porque en el problema dice que a,b son enteros distintos entre sí.