6. Aplicación del EFR

Enviado por Samuel Elias el 4 de Octubre de 2025 - 17:06.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de mismo radio que se intersectan en $B$ y $C$ y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $G$ un punto en $C_1$ de tal forma que el segmento $CG$ corte a $C_2$ en $E$ y $E$ quede entre $G$ y $C$. Sea $H$ un punto en $C_2$ de tal forma que el segmento $BH$ corte a $C_1$ en $F$ y $F$ quede entre $B$ y $H$. Si $E, \ M, \ F$ son colineales:

$i)$ Demuestra que $G, \ H, \ M$ son colineales.

$ii)$ Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de $C_1$ y $C_2$ respectivamente. Demuestra que $O_1F$ y $O_2E$ son paralelas.

Sugerencia

Sugerencia:

$EFR$, dadas las paralelas y la igualdad de arcos, demuestra que $BHCG$ es un paralelogramo y concluye el primer inciso.

El segundo inciso es con ángulos.

Solución

Solución:

Por la $Edu's \ Favorite \ Reflection$, sabemos que $BECF$ es un paralelogramo, porque como $E, \ M, \ F$ son colineales, quiere decir que $F$ es reflejo de $E$ respecto a $M$. Esto quiere decir que $CG \parallel HB$. Entonces, $\angle BGC = \angle BHC $ por abrir el arco $BC$ (que como $O_1 \cong O_2, \ \implies BC = BC$), $\angle EBF = \angle FCE$ y $\angle GEB = \angle HFC$ por ángulos entre paralelas. Esto implica que $BGCH$ es un paralelogramo, y como $M$ es punto medio de la diagonal $BC$, entonces $M$ es punto medio de la diagonal $GH$.

Para la parte 2, como $EB = FC$, esos arcos también son iguales, por lo que $\triangle BO_2E \cong CO_1F$ por criterio $LAL$. Entonces, $\angle BEO_2 = \angle CFO_1 = \angle EAF$, siendo $A = EO_2 \cap CF$.

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