Enviado por sebas islas el 11 de Octubre de 2025 - 07:44.
Mi solucion
1.- por lo q dice $x=1-y$ y $y=1-x$
Tomemos la primera fraccion y lo multipliquemos por $\frac{x}{1-y}$ y como $x=1-y$ por lo que es igual a 1. se hace anologamente para la segunda fraccion y usando la desigualdad util nos queda
Como $x+y=1$ al elevar ambos lados al cuadrado da $x^2+y^2+2xy=1$ y ahora acortamos la ecuacion y sustituymos $\frac{1}{2-(1-2xy)} \geq \frac{2}{3} \Rightarrow 3 \geq 2+4xy \Rightarrow 1 \geq 4xy$ y si sustituyes 1 por el cuadrado de $x+y$
$x^2 +2xy+ y^2 \geq 4xy \Rightarrow x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq 0$ $\blacksquare$ y la igualdad se da a una sistema de ecuaciones
$x+y=1$ y $xy=\frac{1}{4} \Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$
Mi solucion 1.- por lo q
Mi solucion
1.- por lo q dice $x=1-y$ y $y=1-x$
Tomemos la primera fraccion y lo multipliquemos por $\frac{x}{1-y}$ y como $x=1-y$ por lo que es igual a 1. se hace anologamente para la segunda fraccion y usando la desigualdad util nos queda
$\frac{x^2}{1-y^2}+\frac{y^2}{1-x^2}\geq \frac{(x+y)^2}{2-(x^2+y^2)}$
Como $x+y=1$ al elevar ambos lados al cuadrado da $x^2+y^2+2xy=1$ y ahora acortamos la ecuacion y sustituymos
$\frac{1}{2-(1-2xy)} \geq \frac{2}{3} \Rightarrow 3 \geq 2+4xy \Rightarrow 1 \geq 4xy$ y si sustituyes 1 por el cuadrado de $x+y$
$x^2 +2xy+ y^2 \geq 4xy \Rightarrow x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq 0$ $\blacksquare$ y la igualdad se da a una sistema de ecuaciones
$x+y=1$ y $xy=\frac{1}{4} \Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$
excelente islas!!
excelente islas!!