Sean $x,y$ números reales positivos tal que $x+y=1$. Demuestra que $$\frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} \geq \frac{2}{3}$$
Y encuentra en qué valores de $(x, y)$ se da la igualdad.
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/print/problemas/algebra/3-una-desigualdad-muchas-soluciones#comment-3454
[2] https://www.matetam.com/problemas/algebra
[3] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
[4] https://www.matetam.com/problemas/categoria/tamaulipas/omm-tamaulipas/selectivos-omm-tamaulipas/segundo-corte-semifinales-om
Mi solucion 1.- por lo q [1]
Mi solucion
1.- por lo q dice $x=1-y$ y $y=1-x$
Tomemos la primera fraccion y lo multipliquemos por $\frac{x}{1-y}$ y como $x=1-y$ por lo que es igual a 1. se hace anologamente para la segunda fraccion y usando la desigualdad util nos queda
$\frac{x^2}{1-y^2}+\frac{y^2}{1-x^2}\geq \frac{(x+y)^2}{2-(x^2+y^2)}$
Como $x+y=1$ al elevar ambos lados al cuadrado da $x^2+y^2+2xy=1$ y ahora acortamos la ecuacion y sustituymos
$\frac{1}{2-(1-2xy)} \geq \frac{2}{3} \Rightarrow 3 \geq 2+4xy \Rightarrow 1 \geq 4xy$ y si sustituyes 1 por el cuadrado de $x+y$
$x^2 +2xy+ y^2 \geq 4xy \Rightarrow x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq 0$ $\blacksquare$ y la igualdad se da a una sistema de ecuaciones
$x+y=1$ y $xy=\frac{1}{4} \Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$
excelente islas!!
excelente islas!!