III OMM 1989

Problemas de la III Olimpiada Mexicana de Matemáticas de 1989
Problema

Trayectorias en retícula triangular

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 12:25.

Siguiendo las líneas de la figura ¿Cuántos caminos hay para ir del punto $A$ al punto $B$ que no pasen dos veces por el mismo punto y que solo avancen hacia abajo y hacia los lados pero no hacia arriba?
 


 

Problema

Círculos tangentes

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 12:23.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo $C$ de radio 2. Sea $C_3$ un círculo dentro de $C$ tangente a cada uno de los círculos $C,C_1,C_2$. Sea $C_4$ un círculo dentro de $C$ tangente a $C,C_1,C_3$. Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3,C_4$ son los vértices de un rectángulo.

Problema

Números en expansión decimal

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 12:18.

Encuentre el entero positivo mas pequeño $ n $ tal que, si su expansión decimal es $ n=a_ma_{m-1}\ldots{a_2}a_1a_0 $ y $r$ es el número cuya expansión decimal es $r=a_1a_0a_ma_{m-1}\ldots{a_2}0$, entonces $r$ es el doble de $n$.
 

Problema

Número de 1989 cifras

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 12:16.

Pruebe que no existe un número positivo de 1989 cifras que tenga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas las cifras sea igual al producto de las mismas.

Problema

Múltiplos encadenados

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 12:13.

Encuentre dos números enteros $a$ y $b$ tales que:

  • $b^2$ es múltiplo de $a$;
  • $a^3$ es múltiplo de $b^2$;
  • $b^4$ es múltiplo de $a^3$;
  • $a^5$ es múltiplo de $b^4$;
  • pero $b^6$ no es múltiplo de $a^5$.
Problema

Áreas y medianas

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 12:09.

Considere un triángulo $ABC$ en el que la longitud del lado $AB$ es 5, las medianas por $A$ y por $B$ son perpendiculares entre sí y el área es 18. Hallar las longitudes de los lados $BC$ y $AC$.

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