XIX OMM 2005

XIX Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2005
Problema

Un punto en la paralela a la bisectriz

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:13.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, con $D$ sobre $BC$. Sea $E$ un punto sobre el segmento $BC$ tal que $BD=EC$. Por $E$ traza la recta $l$ paralela a $AD$ y considera un punto $P$ sobre $l$ y dentro del triángulo. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF=CG$)

Problema

Eliminar (ternas aritméticas) reordenando

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:08.

Decimos que una lista de números $a_1,a_2,\ldots,a_m$ contiene una terna aritmética $a_i,a_j,a_k$, si $i<j< k$ y $2a_j = a_i + a_k$. Por ejemplo, 8,1,5,2,7 tiene una terna aritmética (8,5 y 2) pero 8,1,2,5,7 no. Sea $ n $ un entero positivo. Muestra que los números $1,2,\ldots,n$ se pueden reordenar en una lista que no contenga ternas aritméticas.

Problema

Con cualquiera de las restantes se completa

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:04.

Sea $N$ un entero mayor que 1. En cierta baraja de $N^3$ cartas, cada carta está pintada de uno de $N$ colores distintos, tiene dibujada una de $N$ posibles figuras y tiene escrito un número entero del 1 al $N$ (no hay dos cartas idénticas). Una colección de cartas de la baraja se llama completa si tiene cartas de todos los colores, o si entre sus cartas aparecen todas la figuras o todos los números. ¿Cuántas colecciones no completas tienen la propiedad de que, al añadir cualquier otra carta de la baraja, ya se vuelven completas?
 

Problema

Infinidad de enteros en sucesión de fracciones

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:00.

Determina todas las parejas $(a,b)$ de enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros:
$$\frac{a+xy}{b},\frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3},\ldots,\frac{a+xy^n}{b^n},\ldots$$

Problema

Matrices n-balanceadas

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:33.

Dadas varias cuadrículas del mismo tamaño con números escritos en sus casillas, su suma se efectúa casilla por casilla. Por ejemplo:

Dado un entero positivo $N$, diremos que una cuadrícula es $N$-balanceada si tiene números enteros escritos en sus casillas y si la diferencia entre los números escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es menor o igual que $N$.

Problema

Circuncírculo en circuncírculo

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:28.

 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto cualquiera sobre el segmento $BC$ ($P \neq B$ y $P \neq C$). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta al segmento $AB$ en $R$ ($R \neq A$ y $R \neq B$) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta al segmento $CA$ en el punto $Q$ ($Q \neq C$ y $Q \neq A$).

  • (i) Considera el triángulo $PQR$; muestra que es semejante al triángulo $ABC$ y que su ortocentro es $O$.
  • (ii) Muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO, COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.
Distribuir contenido