Selectivo OMM Tamaulipas 2022

Se definen las sucesiones x_n y y_n mediante las siguientes reglas:

• x₀ = 2, x₁ = 5, x_n+1 = x_n + 2x_n-1
• y₀ = 3, y₁ = 4, y_n+1 = y_n + 2y_n-1

​Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.

Determina el menor entero positivo $n$ tal que para todo entero positivo $u$ se cumple que  $n+u!$  sea un número de al menos 4 divisores

Sean $\alpha$ y $\beta$ dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos$P$ y $Q$. Sea $X$ un punto en $\alpha$. La recta $QX$ intersecta a $\beta$ en un punto $Z$, de manera que $Z$ queda entre $X$ y $Q$. Demuestra que $PX=PZ$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sean $K$ y $L$ las intersecciones del circuncírculo de $ABC$ con los lados $AD$ y $CD$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del arco $KL$ que no contiene a $B$. Demuestra que $DM$ es perpendicular a $AC$.

¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?

a) Demuestra que si a una colección de $m$ números le agregamos su promedio, la nueva colección de $m+1$ números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño.

EXTRA PARA ENTRENAMIENTO:

c) Demuestra que si a la colección le agregamos un número menor al promedio, entonces el promedio disminuye. En cambio, si agregamos un número mayor al promedio, entonces el promedio aumenta.