Promedio de un colección de m números

Primero que nada, definimos como {$a_1$, $a_2$, ... , $a_m$} los elementos de la colección (o conjunto) de m números. 

a) El promedio de los m números es $$\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m}$$ entonces, notemos que\begin{eqnarray*} \frac{a_1+...+a_m+\frac{a_1+...+a_m}{m}}{m+1} &=&\\ &&\\ \frac{\frac{m(a_1+...+a_m)+a_1+...+a_m}{m}}{m+1} & =& \\ &&\\ \frac{\frac{(m+1)(a_1+...+a_m)}{m}}{m+1} &= &\frac{a_1+...+a_m}{m} \end{eqnarray*}

b) ordenemos de forma creciente nuestros elementos siendo $a_1$ $\leq$ $a_2$ $\leq$ ... $\leq$ $a_m$ 

\begin{eqnarray*} a_m = \frac{ma_m}{m} &=& \frac{a_m+a_m+...+a_m (m \textrm{ veces})}{m} \\ &\geq& \frac{a_m+...+a_1}{m}\\ &\geq & \frac{a_1+a_1+...+a_1 (m \textrm{ veces})}{m}\\ & =& \frac{ma_1}{m} = a_1 \end{eqnarray*}

DEMOSTRANDO AMBAS COSAS