Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sean $K$ y $L$ las intersecciones del circuncírculo de $ABC$ con los lados $AD$ y $CD$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del arco $KL$ que no contiene a $B$. Demuestra que $DM$ es perpendicular a $AC$.
Sugerencia
Sugerencia:
Haz cacería de ángulos y demuestra que $M$ es el ortocentro del triángulo $ADC$.
Solución
Solución:
Trazamos $AM, BM, CM, BK, BL, AL$ y $CK$. Nota que $\angle KAM = \angle MAL = \angle KCM = \angle MCL = \angle KBM = \angle LBM$. A todos ellos los llamaremos $\alpha$. Nota que $\angle LAC = \angle LBC$ por abrir al arco $LC$. Estos 2 se llamarán $\beta$. Ahora, nota que $\angle ACK = \angle ABK$ por abrir arco $AK$. Estos 2 se llamarán $\gamma$. Ahora, como $\angle BAD = \angle BCD$ por ser los angulos opuestos de un paralelogramo, entonces $\angle BAC= 2\alpha + \gamma$, y, $\angle BCA=2\alpha +\beta$ para que ambos sean $4\alpha +\beta +\gamma$. Viendo el $\triangle ABC$, tenemos que 2α+2α+2α+β+β+γ+γ = 6α+2β+2γ = 180 $\Leftrightarrow$ 3α+β+γ=90. Ahora $\angle ADC = \angle ABC$ = 2α+β+γ por ser opuestos del paralelogramo.
Ahora vamos a prolongar $AM$ hasta que toque a $CD$ en $H_1$, entonces nota que <$H_1AD$ + <$H_1DA$ = 2α+β+γ+α = 3α+β+γ = 90. Prolongamos $CM$ hasta que toque a $AD$ en $H_2$ $\Rightarrow$ <$H_2CD$ + <$H_2DC$ = 2α+β+γ+α = 3α+β+γ =90. Entonces, tanto $AH_1$ como $CH_2$ son alturas del $\triangle ADC$ $\Rightarrow$ $M$ es el ortocentro del $\triangle ADC$ $\Rightarrow$ $DM$ es perpendicular a $AC$.
