Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 08:42.

Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circuncírculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.

Sugerencia

Sugerencia:

Haz cacería de ángulos y demuestra que M es el ortocentro del triángulo ADC.

Solución

Solución:

Trazamos AM, BM, CM, BK, BL, AL y CK. Nota que <KAM = <MAL = <KCM = <MCL = <KBM = <LBM. A todos ellos los llamaremos α. Nota que <LAC = < LBC por abrir al arco LC. Estos 2 se llamarán β. Ahora, nota que <ACK = <ABK por abrir arco AK. Estos 2 se llamarán γ. Ahora, cono <BAD = <BCD por ser los angulos opuestos de un paralelogramo, entonces <BAC= 2α+γ, y, <BCA=2α+β para que ambos sean 4α+β+γ. Viendo el ΔABC, tenemos que 2α+2α+2α+β+β+γ+γ = 6α+2β+2γ = 180 $\Leftrightarrow$ 3α+β+γ=90. Ahora <ADC = <ABC = 2α+β+γ por ser opuestos del paralelogramo.

Ahora vamos a prolongar AM hasta que toque a CD en $H_1$, entonces nota que <$H_1AD$ + <$H_1DA$ = 2α+β+γ+α = 3α+β+γ = 90. Prolongamos CM hasta que toque a AD en $H_2$ $\Rightarrow$ <$H_2CD$ + <$H_2DC$ = 2α+β+γ+α = 3α+β+γ =90. Entonces, tanto $AH_1$ como $CH_2$ son alturas del ΔADC $\Rightarrow$ M es el ortocentro del ΔADC $\Rightarrow$ DM es perpendicular a AC.