P6. Razones entre cíclicos dobles y pies de perpendicular.

Note que todos estos ángulos son iguales por los cíclicos:

$$\angle DAC = \angle CBE = \angle CFE = \angle DGE$$

$$\angle ADB = \angle ACB = \angle EGB = \angle EFA$$

$$\angle CAB = \angle CDB$$

Con esto es fácil observar las siguientes semejanzas por $AA$:

$$\triangle AFC \sim \triangle DGB \Rightarrow \frac{AF}{DG} = \frac{AC}{DB}$$

$$\triangle APC \sim \triangle BQD \Rightarrow \frac{AP}{BQ} = \frac{AC}{BD}$$

Con esto concluimos porque ambos son iguales a $\frac{AC}{BD}$.