P6. Razones entre cíclicos dobles y pies de perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 14 de Junio de 2025 - 01:57.

Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico y $E$ el punto de intersección de sus diagonales. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BEC$ corta a la recta $AB$ en $F$ y a la recta $CD$ en $G$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$ y sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre la recta $AD$. Demuestra que:

$$\frac{AF}{DG}=\frac{AP}{BQ}$$

Sugerencia

Sugerencia:

Primero haz anguleo. Luego busca triángulos semejantes que sean convenientes y construye las razones de semejanza.

Solución

Solución:

Note que todos estos ángulos son iguales por los cíclicos:

$$\angle DAC = \angle CBE = \angle CFE = \angle DGE$$

$$\angle ADB = \angle ACB = \angle EGB = \angle EFA$$

$$\angle CAB = \angle CDB$$

Con esto es fácil observar las siguientes semejanzas por $AA$:

$$\triangle AFC \sim \triangle DGB \Rightarrow \frac{AF}{DG} = \frac{AC}{DB}$$

$$\triangle APC \sim \triangle BQD \Rightarrow \frac{AP}{BQ} = \frac{AC}{BD}$$

Con esto concluimos porque ambos son iguales a $\frac{AC}{BD}$.