En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.
Este problema ya estaba
Si no estoy mal: Sea $M$ el
Si no estoy mal:
Sea $M$ el punto medio de $CE$. Como $2BC=CE$, entonces $BC=CM=ME$. Note que $\angle ABC = \angle FCE$ por ángulos entre paralelas y $\angle ABC = \angle ACB$ por el isósceles.
Por ángulo externo al triángulo, $\angle DAB = 2\angle ABC$, y como $\angle DBC=90$, necesariamente el $\angle BDA = 90-\angle ABC$. Como $DA=AB=AC$, $A$ es punto medio de $DC$ y como $M$ es punto medio de $CE$, entonces $AM || DE$ por teorema del punto medio en $\triangle CDE$.
Por ángulos entre paralelas, $\angle AMC = \angle DEM$, entonces por criterio $AA$, $\triangle CFE \sim \triangle BAM$, pero como $BM=2BC=CE$, entonces son congruentes. Por lo que $AB=CF$. Como ya tenemos que $\angle ACF = 180 - \angle FCM$, entonces necesariamente $\angle AFC = \angle FCM$ obteniendo así que $AF || BC$ por alternos internos.