Álgebra

Problema

Razonado con suma de dígitos

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 16:20.

 

Mauricio ya cumplió años en el 2010. Al sumar los dígitos de la fecha de su nacimiento se dio cuenta que obtenía su edad. ¿Cuántos años puede tener Mauricio?
 

Problema

Sumas de productos de filas y columnas en un tablero

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:17.

 

En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2
 

Problema

Semáforos en la Avenida Salsipuedes

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:13.

 

Problema

Bolsas con canicas

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:10.

Se tiene cierto número de bolsas acomodadas en una fila. En ellas se meten canicas de la siguiente forma: en la primera bolsa se mete una canica, en la segunda bolsa dos, en la tercera tres y así sucesivamente. Luis escoge una bolsa que tiene catorce canicas menos que la última bolsa de la fila y observa que la suma de todas las canicas de las bolsas que están a la derecha de la que escogió es igual a la suma de las que están a la izquierda. ¿Cuántas canicas tiene la bolsa que Luis escogió?

Problema

EGMO Problema 2 - Máxima cantidad de renglones en una tabla

Enviado por jesus el 25 de Abril de 2012 - 16:41.

Sea $n$ un entero positivo, encuentra el entero más grande $m$, en términos de $n$ con la siguiente propiedad:

Una tabla con m renglones y n columnas puede ser llenada con números reales de tal manera que dos diferentes renglones,  $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ and $[b_1, b_2, \ldots, b_n]$ satisfacen que $$\max(|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|,\dots , |a_n − b_n|) = 1.$$

©Traducido de la versión en ingles por Matetam.com

Problema

Desigualdad con multiplicadores en $\{-1,1\}$

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:55.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos. Demostrar que existen $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\{-1,1\}$ tales que  $$a_1x_1^2+a_2x_2^2+\ldots+a_nx_n^2\geq(a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n)^2$$

Problema

Ecuación de inversos OIM 2011

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:51.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen tres enteros no nulos $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$ y $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{n}$$

Problema

Medias enteras

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:43.

Las medias aritmética, geométrica y armónica de dos enteros positivos distintos son todas números enteros. Hallar el menor valor posible de la media aritmética de los dos enteros.

Problema

Sucesión en enteros indecisa

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:31.

Decidir si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que todos los términos de la sucesión $(X_n)$, definida como $X_1 =2010, X_2 = 2011$, $$X_{n+2} = X_n + X_{n+1} + a\sqrt{X_nX_{n+1} + b}$$ son números enteros.

Problema

Ecuación sin soluciones enteras

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:09.

Pruebe que la ecuación $$x^{2008}+2008!=21^y$$ no tiene soluciones enteras $(x,y)$

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