Entontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 4x + 2yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$.
©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com
Entontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 4x + 2yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$.
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Haciendo y=0 f(f(x)) = 4x
Haciendo y=0 f(f(x)) = 4x despues observamos que f(0)=f(4*0) = f(f(f(0))) = 4f(0) de ahi es facil ver que la unica posibilidad es f(0)=0, si hacemos x=0 y=1 nos da la funcion f( f(1) + f(0) ) = 2f(1) como f(0) = 0 y f(f(x)) = 4x es facil ver que f(1) = 2, es buena la idea de x +y = 1 pues ya sabemos el valor de F(1) sustituyendola nos da f( (1-x)f(1) + f(x) ) = 4x + 2(1-x)f(1) sustituyendo f( 2-2x + f(x) ) = 4 = f(f(1)) sacando funcion inversa 2-2x + f(x) = f(1)=2 entonces f(x) = 2x para todo x es facil ver que cumle sustituyendola arriba
Muy buena realización de la
Muy buena realización de la prueba.
Pero creo que faltó un detalle, para poder cancelar f en la relación: $$f( 2-2x + f(x) ) = f(2)$$
usaste la función inversa, la cual no existe para todas las funciones. Por lo que te hizo falta probar su existencia.
¿Quiere intentar probarlo por tu cuenta?¿Quieres que te sugiera algo?¿O tienes alguna otra duda? No dudes en contactarnos,
Saludos
Para evitar esa ambigüedad
Hola Francisco, Segun
Hola Francisco,
Segun entiendo tu argumento, primero transformaste la expresión hasta quedar así: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 2[yf(x+y)]+4x$$
Y luego invocas un procedimiento (o teorema) al que llamas "pareando los términos", que interpreto es algo así: $f(a+b) = 2a + 4x$ entonces $b=4x$. Pero lamentablemente, en términos generales, esto último es falso.
Te sugiero buscar un argumento en otra dirección. En particular, te recomiendo que sigas la sugerencia que está abajo del enunciado del problema.
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