Producto de diagonales en un polígono regular

Las raices primitivas del polinomio $p(x) = x^n - R^n$, con $R$ el un real positivo fijo, son 
$$\alpha_k = R[\cos (\frac{k\pi}{n}) + i \textrm{sen}(\frac{k\pi}{n})]$$
para $k=0, 1, 2, \ldots, n-1$.

Es inmediato, a partir de la fórmula de De Moivre, que estos complejos son raices del polinomio $p(x)$. Y como, $p(x)$ es de grado $n$, estas $n$ raices son todas las raices del polinomio.  Además, estas $n$ raices forman los $n$ vértices de un polígono regular de $n$ lados inscrito en un círculo de radio $R$.

Por otro lado, $$p(x) = x^n - R^n = (x - R)(x^{n-1} + x^{n-2}R + x^{n-3}R^2 + \cdots + xR^{n-2}+ R^{n-1} )$$

y por el teorema fundamental de la aritméticam, las $n$ raices $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}$ ayudan a descomponer a $p(x)$ como sigue: $$p(x) = (x- \alpha_0)(x-\alpha_1) \cdots (x-\alpha_{n-1})$$

En consecuencia, se tiene que $$(x- \alpha_0)(x-\alpha_1) \cdots (x-\alpha_{n-1}) = (x-R)(x^{n-1} + x^{n-2}R + \cdots + R^{n-1})$$

Pero, de la definición de $\alpha_k$ se observa que $\alpha_0 = R$, por lo tanto,  podemos cancelar el factor $(x -R)$ de ambos lados y llegamos a la conclusión de que:

$$(x-\alpha_1) \cdots (x-\alpha_{n-1}) = x^{n-1} + x^{n-2}R + \cdots + xR^{n-2}+ R^{n-1})$$

Esta identidad es cierta para todo valor de $x$, por lo que, si sustituimos con $x = R$ se obtiene la siguiente identidad:

$$(R-\alpha_1) \cdots (R-\alpha_{n-1}) = nR^{n-1} \ldots (1)$$

Conclusión
 

Identifiquemos los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_n$ con los números complejos $\alpha_0=R, \alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}$ respectivamente. Entonces, la magnitud de $|A_1A_k|$ corresponde con la norma del número complejo $\alpha_0 - \alpha_k$ para todo valor de $k$.

Y bueno, si recordamos las siguientes dos propiedades básica sobre normas de números complejos se concluye de manera evidente el resultado.

1. La norma separa multiplicaciones:
   $$|\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta|$$
    
2. La norma de un número real es igual a su valor absoluto.

En esta conclusión se está usando que, si $A(a,b)$ y $B(c,d)$ son dos puntos del plano, entonces, la disntancia de $A$ a $B$ es la norma $|\alpha - \beta|$ donde  $\alpha$ y $\beta$ son los dos números complejos $\alpha =a +ib$ y $\beta = c +id$.