Álgebra

Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.

Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales $x_0, x_1,\ldots,x_k$, con $k < 1100000$, $x_0 = 1, x_k = n$ tal que para cada $i = 1, 2,\ldots, k$, existen $r, s$ con $0\leq r < i, 0 \leq s < i$, y $x_i = x_r + x_s$.

Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.

 Sea $N^* = \{1, 2, 3, \ldots \}$. Halle todas las funciones $f: N^* \mapsto N^*$ tales que:

• i) si $x < y$, entonces $f(x) < f(y)$
• ii) $f(y f(x)) = x^2f(xy)$, para todos los $x, y\in N^*$.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:

• i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
• ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
• iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.

Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función$$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$ Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.

Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.

• i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
• ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.

Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:

• (a) $F(0) = 0$
• (b) $F(x/3) = F(x)/2$
• (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$

Encontrar $F(18/1991)$

Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de $f$ es tangente al eje $x$, entonces $f(x)$ tiene sus 3 raíces racionales.