Álgebra

Problema

Seis naturales no nulos

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:50.

Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que

  • $q\geq b+d$
  • Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$

 

Problema

Raíces de una ecuación cúbica

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:39.

 Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$

Problema

El truco es conjugar

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:31.

 Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.

Problema

Funciones que cumplen ecuación

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:05.

 Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$

 

Problema

Un ejercicio en álgebra

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 12:10.

 Demostrar que si $x\neq1, y\neq1, x\neq{y}$ y $$ \frac{yz-x^2}{1-x}=\frac{zx-y^2}{1-y}$$
entonces ambas fracciones son iguales a $x + y + z$.

Problema

Vieta y la desigualdad de las medias

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 12:01.

 Halle las raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$ de la ecuación:
$$4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0$$
Sabiendo que son reales positivos, y que
$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$

Problema

Vieta y los polinomios simétricos

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 11:48.

 Encontrar todas las ternas de enteros $(a, b, c)$ tales que:
$$a + b + c=24$$
$$a^2 + b^2 + c^2=210$$
$$abc=440$$

Problema

IMO 2007 (PROBLEMA 6)

Enviado por cuauhtemoc el 1 de Diciembre de 2011 - 18:14.

Sea un entero positivo.  Se considera

Problema

Problema 3 (IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 11:25.

Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satisface $$f(x + y)\leq yf(x) + f(f(x))$$ para todo par de números reales $x, y$. Demostrar que $f(x) = 0$ para todo $x\leq0$.

Problema

Sistema de ecuaciones en tres variable (P5)

Enviado por jesus el 29 de Junio de 2011 - 17:49.

Los números reales positivos $x$, $y$, $z$ son tales que:

$$x+ \frac{y}{z} = y + \frac{z}{x} = z + \frac{x}{y} = 2$$

Determina todos los valores posibles de $x+y+z$.

Distribuir contenido