Álgebra

Encuentra todas las ternas de números naturales $ (a,b,c) $ que cumplan la ecuación $ abc=a+b+c+1 $.

 Los lados de un rectángulo tienen longitudes enteras, una de ellas es 8 unidades menos que otra, y la suma de tres de ellas es 55. Encontrar el perímetro. 

 La suma de 4020 números enteros consecutivos es 2010. Encontrarlos.

 El abuelo repartió 500 pesos entre sus 18 nietos de manera que cada niña recibió 2 pesos menos que cada niño. ¿Cuánto recibió cada quien en el reparto?

 De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.

 Sofía tiene 5 pedazos de papel en una mesa. Toma algunos de los pedazos, corta cada uno en 5 pedacitos y los vuelve a poner en la mesa. Ella repite este procedimiento varias veces hasta que se cansa. ¿Podría Sofía llegar a tener 2010 pedazos al final en la mesa?

Demostrar que para $n$ entero no negativo, la función $f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1$ es múltiplo de 7.

Calcular el valor de la expresión $(a_0+a_2+a_4)^2-(a_1+a_3)^2$, donde los $a_i$ son los coeficientes de la expansión de  $(2x+\sqrt{3})^4$: $$(2x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$$
 

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función punto medio convexa, es decir, que satisface que: $$f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} $$ para toda pareja de números reales  $x,y \in \mathbb{R}$.

Demostrar que para cualesquiera números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ se satisface la siguiente desigualdad: $$f \left(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}.$$