El problema se trivializa si dividimos la expresión entre $abc$: $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc} =1$$
En esta forma de escribir la expresión, se observa que los números $a$, $b$ y $c$ aparecen en los denominadores de todas la expresiones de la izquierda y que si sus valores fuesen muy grandes no habría posibilidad alguna de que esa suma de fracciones, alcanzase a sumar 1.
Con mayor detalles, podemos demostrar que no todos los números $a$, $b$ y $c$ pueden ser mayores o iguales a 2. Ya que, en tal caso:
$$\frac{1}{ab} \leq \frac{1}{4}, \qquad \frac{1}{bc} \leq \frac{1}{4}, \qquad \frac{1}{ca} \leq \frac{1}{4}, \qquad \frac{1}{abc} \leq \frac{1}{8} $$
Al sumar todas las desigualdades obtendremos que: $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc} \leq \frac{7}{8} < 1$$
De aquí que no todos pueden ser mayores o iguales a 2. Entonces alguno deberá ser 1. Digamos $c=1$
Entonces, la identidad original se simplifica así: \frac{2}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} =1
Aplicando un argumento similar podemos demostrar que no pueden ambos, $a$ y $b$, ser mayores o iguales que 3.
$$\frac{2}{ab} \leq \frac{2}{9}, \qquad \frac{1}{a} \leq \frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{b} \leq \frac{1}{2}$$
Entonces, se tendrá que $$\frac{2}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \leq \frac{8}{9} < 1$$
Hemos probado entonces, que alguno de los enteros $a$ o $b$ es menor que 3. Sin perdida de generalidad, supongamos que se trata de $b$, por lo que $b=1,2$
Sustituimos los dos valores posibles de $b$ en la identidad (\ref{reducida}) y obtendrémos que sólo $(a,b) = (4,2)$ es solución.
En resumen, la única solución para $(a,b,c)$ es $(1,2,4)$ y sus permutaciones.
Mi solución es ligeramente
Mi solución es ligeramente diferente a las oficiales.
Primero nos fijamos que hay exactamente dos pares y un impar, ya que si solo hubiera un par entonces $a+b+c+1$ seria impar, mientras que $abc$ seria par. Si los tres fueran impares $a+b+c+1$ seria par pero $abc$ seria impar. Si los tres fueran pares $abc$ es par y $a+b+c+1$ es impar.
Ahora reacomodamos la expresión como:
$$abc-a=b+c+1$$ $$a(bc-1)=b+c+1$$
De aqui concluimos que $bc-1|b+c+1$, por lo que $$bc-1 \leq b+c+1$$ reacomodando tenemos que $$bc-b\leq c+2 $$ $$b \leq \frac{c+2}{c-1}$$ y haciendo la división larga $$b \leq 1 + \frac{3}{c-1} $$
Entonces tenemos que si $c$ es diferente de $1$ entonces $b\leq 4 $, analogamente $c \leq 4$, $a \leq 4$
Entonces hagamos el caso en el que alguno es 1.
Supongamos que $c=1$ entonces $$a=\frac{b+2}{b-1}= 1+ \frac{3}{b-1}$$ de aqui tenemos que $b$ tiene que ser $4,2$ porque $a$ es entero, y entonces $a$ seria $2$ o $4$ para ambos casos. Por lo que la terna $(1,2,4)$ y sus permutaciones cumple.
Si ninguno es $1$ entonces con la paridad y la cota tenemos que las posibles ternas son $(2,2,3),(2,4,3),(4,4,3)$ y es facil ver que ninguna de esas cumple.
Cualquier error de dedo haganmelo saber.
Muy bonita solución Isaí, no
Muy bonita solución Isaí, no noté ningun paso erróneo en tu explicación. Debeo admitir que al principio pensé que lo de la paridad no la usarías para nada, pero al final fue una grata sorpresa ver que la usaste.
Saludos
Uno de mis alumnos salió con
Uno de mis alumnos salió con una solución más bonita a partir de
$bc-b \leq c+2$
Luego realizó los siguientes pasos que mataron al problema
$bc-b \leq (c-1)+3$
$b(c-1)-(c-1) \leq 3$
$(b-1)(c-1) \leq 3$
Ahí se dió cuenta que con esa desigualdad tienes un espacio muy limitado de soluciones. Si alguno es $1$ llegas a que los otros son $2,4$, y si no, se acota con eso.
Cambiemos el problema a otro
Cambiemos el problema a otro un poco más general:
Buscamos cuatro números naturales $(a,b,c,d)$ tales que
$abcd=a+b+c+d$ y tenemos una solución que cumple: $(1,1,2,4)$. Demostraremos que no existe otra.
Es fácil ver que un acomodo menor no funciona, estos son los casos:
$(1,1,1,1)$; $(1,1,1,2)$; $(1,1,1,3)$; $(1,1,1,4)$; $(1,1,2,3)$.
Bien, demostraremos ahora que no existe una solución mas grande:
supongamos que existen números naturales $A,B,C,D$ que satisfacen $ABCD=A+B+C+D$ (1)
como buscamos una solución más grande, podemos declarar:
$A=1+s$; $B=1+r$; $C=2+t$; $D=4+u$
para algunos $s,r,t,u$ enteros no negativos. Si los cuatro fueran cero, entonces tendríamos la solución original, por lo tanto, al menos uno es mayor a cero.
Reescribimos (1) como:
$(1+r)(1+s)(2+t)(4+u)=8+r+s+t+u$ (2)
Desarrollando el lado izquierdo tenemos:
$(1+r)(1+s)(2+t)(4+u)=8+8r+8s+2u+4t+...+$ (otros términos no negativos), por lo que podemos afirmar:
$(1+r)(1+s)(2+t)(4+u)>8+8r+8s+2u+4t$ y como al menos un número entre $r,s,t,u$ no es cero, tenemos que $(1+r)(1+s)(2+t)(4+u)>8+8r+8s+2u+4t>8+r+s+t+u$
de donde rescatamos: $(1+r)(1+s)(2+t)(4+u)>8+r+s+t+u$, lo cual contradice la igualdad en (2).
Por lo tanto, podemos afirmar que no hay soluciones más grandes que $(1,1,2,4)$. Q.E.D.
P.D. Esta noción se puede hacer todavía más general, es decir, funciona para $n$ incógnitas.
Siendo $a_1$, $a_2$,...,$a_n$ números naturales.
Entonces, se tiene que la única solución para
$\prod_{i=1}^n{a_i}=\sum_{i=1}^n{a_i}$ (3)
es:
$a_{n}=n$; $a_{n-1}=2$; $a_{n-2}=a_{n-3}=...=a_{2}=a_{1}=1$
Es facil ver que esta solución siempre cumple (3):
Sustituyendo los valores verificamos $2n=(n-2)+2+n$. La demostración de que esta solución es única es similar a la del caso anterior.
Un saludo.
(si hay algun error, avisenme)
La solución me parece muy
La solución me parece muy ingeniosa e interesante. Pero creo que hay un concepto no claramente definido, y sujeto a interpretaciones. Esto es, el orden que manejas en las $n$-adas de números. ¿Cuándo una $n$-ada es menor o igual a otra?
Se puede leer que $(a,b,c,d) \leq (A,B,C,D)$ implica que $a \leq A$, $b \leq B$, $c \leq C$ y $d \leq D$.
Este orden, es un orden parcial en $\mathbb{Z}^4$. Lo que significa que no puedes dividir a los elementos de $\mathbb{Z}^4$ en dos grupos; los menores y los mayores que $(1,1,2,4)$. En tu demostración faltaria considerar los elementos no comparables con el $(1,1,2,4)$, por ejemplo el $(1,2,2,2)$ que no es ni menor ni mayor.
Tal vez no estoy entendiendo correctamente tu orden, pero aún así, tu generalización a cuatro números es correcta.
Para la generalización a 5 números, piensa en $(1,1,2,2,2)$.
Tienes razón, Jesús. Olvidé
Tienes razón, Jesús. Olvidé definir una $n-ada$ menor y mayor.
Antes que nada, podemos acomodar de izquierda a derecha en orden ascendente, y sin pérdida de generalidad, a los $n$ elementos de un conjunto. De esta forma, la $7-ada$ correspondiente a los números $2,5,6,2,1,9,8$ sería $(1,2,2,5,6,8,9)$.
Ahora bien, decimos que una $4-ada$ $(W,X,Y,Z)$ es menor o igual a otra $(M,N,O,P)$ si y sólo si podemos expresar los elementos de la primer $4-ada$ de la siguiente manera:
$W=M+r$; $X=N+s$; $Y=O+t$; $Z=P+u$, para algunos enteros $r,s,t,u$ no positivos, tales que $|M|>|r|$, $|N|>|s|$,$|O|>|t|$ y $|P|>|u|$. (Nota: en las $n-adas$ sólo admitimos valores en $\mathbb{N}$ ). La igualdad se da si y sólo si $r=s=t=u=0$.
Asimismo, es mayor si y sólo si podemos expresar alguno de sus elementos como:
$W=M+i$; $X=N+j$; $Y=O+k$; $Z=P+l$, para algunos enteros $i,j,k,l$ no negativos, con almenos no de ellos distinto de cero.
De esta forma, vemos que $T=(1,2,2,2)$ es mayor a $S=(1,1,2,4)$ ya que el segundo elemento de $T$ lo podemos expresar como $2=1+1$.
Espero ahora si quede un poco más claro a lo que me estaba refiriendo.
P.D.
1- Te agradezco por la aportación de la denominación de $n-ada$ (no encontraba cómo denominarlas).
2- Oh, no había notado que afirmar la unicidad de la solución para las $n$ incógnitas era incorrecto. Gracias, trabajaré en ello.
Un saludo.
En tu demostración habías
En tu demostración habías dicho:
Pero no concuerda con lo que dices ahora:
Creo que tengo que revisar más, pero empiezo a creer que no basta con especificar el orden, tal vez haya que hacer algo más.
Saludos
Asimismo, es mayor si y sólo
Eso es lo que afirmo en el segundo comentario. Según yo si concuerda, ya que el párrafo completo dice:
Como verás, si menciono que al menos un elemento del conjunto de las variables declaradas es distinto de cero (en ambos comentarios), con la diferencia de que en la primer referencia de este comentario ya no se especifica porqué hay uno distinto de cero, y esto es porque en la definición de una $4-ada$ menor ya se había incluído el caso en el que todos son ceros.
Un saludo.
Bueno, yo donde veo la
Bueno, yo donde veo la diferencia exactamete es donde dice "podemos expresar alguno de sus términos [...]". Entiendo por ello, que como dices "alguno", tal vez sólo una de las identidades es válida. Incluso, más adelante en el mismo comentario, pones el ejemplo de que $T = (1,2,2,2)$ es mayor que $S =(1,1,2,4)$:
O sea, según entendí, una 4-ada ordenada es mayor a otra si alguna de sus entradas es mayor a la de su correspondiente entrada de la otra.
Sí es así, lo anterior no concuerda con lo que usaste en tu demostración. Pues en ella declaras que, como $(A,B,C,D)$ es mayor que $(1,1,2,4)$, entonces todos los números $A$, $B$, $C$ y $D$ son mayores uno a uno que 1, 1, 2 y 4 respectivamente.
De hecho, esto esto último es parte importante de tu prueba, pues dices:
Esos "otros términos no negativos" son no negativos pues consideras $r,s, t$ y $u$ no negativos. Lo cuál NO concuerda con que $T=(1,2,2,2)$ es mayor que $S=(1,1,2,4)$ según tu segundo comentario.
Bueno, básicamente eso es lo que me ha causado confusión. Lo resumiría en la siguiente pregunta:
¿Es $T=(1,2,2,2)$ mayor o menor que $S=(1,1,2,4)$?
Si es mayor, creo que no concuerda con tu demostración. Pero si es menor, entonces, te faltó incluirlo en tu lista de menores.
Bueno, Daniel. Te mando un saludo y te agradezco que hallas leído y contestado mis comentarios. Realmente esto es enriquecedor para todos los usuarios del sitio.
Saludos y seguiré al pendiente de tu respuesta.