P4. Suma inversa vs Media inversa

Solución 1 que no utiliza ninguna fórmula:

Sea $S=\sum_{i=1}^n x_i$. Entonces, tenemos que 

 

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}-\frac{n}{S}\ge0$$

 

Nótese que $\dfrac{n}{S}= \dfrac{1}{S}+\dots+ \dfrac{1}{S}$ ($n$ veces). Vamos a estudiar entonces cada término individualmente.

 

$$\frac{1}{x_i}-\frac{1}{S}=\frac{S-x_i}{x_iS}=\frac{\sum_{j \neq i} x_j}{x_iS}$$

 

Donde tanto el numerador como el denominador son estrictamente positivos. El numerador es positivo porque como cada $x_j>0$, entonces suma de positivos es positivo. Ahora, como todas las $x_i>0$ y $S>0$, entonces $x_iS>0$. Por lo tanto $$\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}-\frac{n}{x_1+\dots +x_n} \ge 0$$

Por $MA-MG$, $$\frac{x_1+\dots +x_n }{n}\geq \sqrt[n]{x_1\dots x_n} $$

 

y

 

$$\frac{\dfrac{1}{x_1}+\dots +\dfrac{1}{x_n}}{n}\ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1}\dots \frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}$$

 

Como estamos trabajando con reales positivos, podemos multiplicar ambas desigualdades sin que se altere el orden. Entonces:

 

$$\frac{x_1+\dots +x_n }{n} \cdot \frac{\dfrac{1}{x_1}+\dots +\dfrac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1\dots x_n}\cdot \frac{1}{\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}=1 $$

 

Si pasamos dividiendo $$\frac{x_1+\dots +x_n}{n} \cdot \frac{1}{n}$$

 

obtenemos que:

 

$$\frac{1}{x_1}+\dots+ \frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+\dots x_n}$$

 

Luego, es un hecho conocido que si $n \ge 1$, $n^2 \ge n$, por lo que $$\frac{n^2}{x_1+\dots +x_n}\ge \frac{n}{x_1+\dots +x_n}$$ Por lo tanto, podemos concluir por transitividad que 

$$\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+\dots +x_n}\ge \frac{n}{x_1+\dots +x_n}$$

El problema es trivial por la desigualdad útil, lema de Titú o desigualdad de Cauchy Schwarz en su forma de Engel. 

 

La fórmula de la desigualdad útil es que para cualesquiera reales distintos de 0:

 

$$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{x_i}\ge \frac{\left(\sum_{i=1}^n a_i \right)^2}{\sum _{i=1}^n x_i}$$

 

Entonces, usando esta desigualdad, tenemos que:

 

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}\ge \frac{(1+1+1\dots +1)^2}{(x_1+x_2+\dots +x_n)}=\frac{n^2}{x_1+x_2+\dots + x_n}$$

 

Luego, es un hecho conocido que si $n \ge 1$, $n^2 \ge n$, por lo que $$\frac{n^2}{x_1+\dots +x_n}\ge \frac{n}{x_1+\dots +x_n}$$ Por lo tanto, podemos concluir por transitividad que 

$$\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+\dots +x_n}\ge \frac{n}{x_1+\dots +x_n}$$

También es trivial si usamos $MA-MH$. Esta desigualdad nos dice que:

 

$$\frac{x_1+\dots +x_n}{n}\ge \frac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dots +\dfrac{1}{x_n}} $$$$\iff \frac{1}{x_1}+\dots+ \frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+\dots +x_n}\ge \dfrac{n}{x_1+\dots +x_n}$$

 

Porque $n \ge 1$.