1. Un ejercicio de desigualdades

Enviado por Samuel Elias el 18 de Octubre de 2026 - 10:50.

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $a + b = 1$. Demuestra que:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 4$$

Solución

Solución:

Realizamos la suma de fracciones en el lado izquierdo:

$$\frac{a + b}{ab} \ge 4$$

Como $a + b = 1$, sustituimos en el numerador:

$$\frac{1}{ab} \ge 4 \iff 1 \ge 4ab$$

pues $a,b>0$. Sustituimos $b = 1 - a$:

$$1 \ge 4a(1 - a) \iff 1 \ge 4a - 4a^2$$

Pasamos todos los términos de un solo lado:

$$4a^2 - 4a + 1 \ge 0$$

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto:

$$(2a - 1)^2 \ge 0$$

Lo cual es cierto pues $x^2\geq 0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}$.