4. Cuerdas iguales con un cíclico.

Enviado por Samuel Elias el 18 de Octubre de 2026 - 10:58.

Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tal que el cuadrilátero $FEBC$ es cíclico. Sea $G$ la intersección de los circuncírculos de $BED$ y $CFD$. Demuestra que $GF=GE$.

Sugerencia

Sugerencia:

En algún punto tendrás que demostrar que $A, G, D$ son colineales. Utiliza conclusiones de opuestos por el vértice, potencia de un punto o ejes radicales.

Concluir, es con ángulos en cuadriláteros cíclicos.

Solución

Solución:

Claim:$G$ pertenece a la recta $AD$.

Observe que como $GD \in (BEGD), (CFGD); \ BE \in (BEFC), (BEGD);$ y $CF \in (BEFC), (CFGD);$ estas tres rectas son ejes radicales. Por lo tanto, las tres concurren. Ahora, como $A$ es la intersección de $BE$ con $CF$, entonces $A$ es el centro radical, por lo que $GD$ pasa por $A$.

Para demostrar lo que pide el problema. Note que $\angle CAD + \angle DAB+\angle ABC + \angle ACB=180^\circ$. Luego, $\angle ACB=\angle FGA$ y $\angle ABC=\angle EGA$ por ángulo exterior al cíclico. Por lo tanto, $AFGE$ es cíclico, donde los arcos $GE$ y $GF$ que no contienen a $A$ son iguales, por lo que $GE=GF$.

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