Una dirección es trivial, ya que la traza es aditiva y es invariante bajo conjugación:
\begin{eqnarray*}
tr(B) &=& tr(S(A+T)S^{-1} -T ) \\
&=& tr(S(A+T)S^{-1})-tr(T)\\
& =& tr(A+T) - tr(T) = tr(A)
\end{eqnarray*}
Para el regreso es lo complicado, que la matriz $S$ y $T$ existen si $tr(A) = tr(B)$.
Observemos que el enunciado se traduce a que existe $T$ tal que $A + T$ y $B+T$ son conjugados.
Pero si tal $T$ existe para $A$ y $B$, entonces deberá existir una para la pareja $A+X$ y $B+X$ para cualquier $X$. Usando $X=-B$, cambiamos $B$ por la matriz cero.
Quedando el enunciado, para toda matriz $A$ de traza 0, existe $T$ tal que $A+T$ y $T$ son conjugados.
Para probar esto, usaremoe el hecho, de que las matrices tienen entradas complejas y que por lo tanto es triangulanizable (es decir, es conjugada a una matriz triangular). Y si $UAU^-1$ tiene una matriz $T$ también lo tendrá $A$ como se muestra a continuación.
Si existe $T$ tal que $UAU^{-1} + T$ es semejante a $T$, entonces existe $Q$ invertible tal que:
\begin{eqnarray*}
UAU^{-1} + T &=& QTQ^{-1} \\
A + U^{-1}TU &=& U^{-1}QTQ^{-1}U \\
&=&(U^{-1}QU) (U^{-1}TU)(U^{-1}QU)^{-1}&
\end{eqnarray*}
Probando que $A + U^{-1}TU$ y $ U^{-1}TU$ serán conjugados.
Ahora, sólo faltaría demostrar que para toda matriz triangular de traza cero $M$, existe una matriz $T$ tal que $M+T$ y $T$ son conjugadas.
De hecho, demostraremos que esta matriz $T$ puede tomarse diagonal.
Entonces, para que el resultado sea cierto, $M+T$ deberá ser diagonalizable. Entonces, una manera de lograrlo es haciendo que todos los valores propios de $M+T$ sean distintos entre sí e iguales a los de $T$, bajo una permutación.
Sean pues $m_i$ las entradas de la diagonal de $M$ y sea $t_i$ los elementos de la diagonal de $T$ (todas sus entradas no cero).
Queremos demostrar que es posible encontrar valores $t_i$ (distintos entre sí) tales que $m_i+t_i = t_{\rho(i)}$ donde $ \rho$ es una permutación de $\{1, 2, \dots, n\}$. Ya que $t_{\rho(i)}$ terminarán siendo los valores propios de $M+T$, una permutación de los valores propios de $T$, por los tanto serán matrices conjugadas.
Para demostrar la existencia de las $t_i$, demostraremos su existencia para una permutación de los valores fijos $m_i$.Recordemos que como la traza es cero, se tendrá que $m_1+m_2+\dots+m_n=0$.
Observemos primero que podemor reordenar los números $m_i's$ para que las sumas parciales $S_k = m_1+m_2 + \dots + m_k$ sean no negativas para toda $k$. Basta con tomar el valor $l$ que $S_l$ es lo más pequeños posible. Luego permutámos cícliamente los índices $m'_i = m_{l+i \pmod{n}}$ y ya las sumas serán no negativas. Ésto gracias a que:
\begin{eqnarray*}
S'_k &=& m'_1 + m'_2 +\dots + m'_k \\
&=& m_{l+1} + m_{l+2} + \cdots + m_{l+k \pmod{n}}\\
&=& S_{l+k \pmod{n}}- S_{l}&
\end{eqnarray*}
En la última identidad, observar de que $S_{n+k} = a_1+a_2+ \dots + a_n + a_1+ \dots+ a_k = S_k$ ya que $a_1 + \dots + a_{n} = 0$.
Luego, si alguna de éstas sumas parciales es cero, podemos particionar los los elementos $m_i$ en subconjuntos más pequeños donde cada suma parcial es positva: $m_1+m_2 + \dots + m_k > 0$ para $k=1, \dots, n-1$ .
Ahora bien, si alguna de las sumas parciales son iguales, $S_k = S_l$ para k
Entonces, basta resolver en el caso de que los $m_i's$ suman cero ys sus sumas parciales son todas disntintas
Enonces tomando $t_i = S_{i-1}+ h$ se logra el cometido, tomando $h$ ualquier valor. Se logra que $m_i + t_i = m_i + S_{i-1} + h = S_{i+1}+h = t_{i+1}$. Con las condiciones en las sumas parciales, todos estos $t_i$'s son números positivos disntos. Y como tenemos un parámetro $h$ libre, podemos hacerlos disintos entre las distintas particiones que logramos de las $m_i$'s.
