P6. Más de Desigualdades Tamaulipas

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:57.

Sean $a, \ b, \ c, \ d$ números reales positivos tales que $a>c$, $d>b$. Si se cumplen las siguientes dos condiciones:

$$a+\sqrt{b} \geq c+\sqrt{d} \ \mathrm {,} \ \sqrt{a}+b \leq \sqrt{c}+d$$

Demuestra que $a+b+c+d > 1$

Solución

Solución:

$$\sqrt c + d \geq \sqrt a + b \iff d-b \geq \sqrt a - \sqrt c$$

$$a+\sqrt b \geq c+ \sqrt d$$ $$ \iff a-c = (\sqrt{a} + \sqrt c)(\sqrt{a} - \sqrt c) \geq \sqrt d - \sqrt b$$

$$\iff(\sqrt{a} + \sqrt c)(\sqrt{a} - \sqrt c)(\sqrt d + \sqrt b) \geq d-b \geq \sqrt a - \sqrt c $$

$$\iff (\sqrt a + \sqrt c)(\sqrt b + \sqrt d)= \sqrt{ab} + \sqrt{ad}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd} \geq 1$$

Ahora, usando $MA-MG$ con $\sum_{cyc}(a+b) \geq \sum_{cyc}2\sqrt{ab}$, tenemos que:

$$2(a+b+c+d)\geq 2(\sqrt{ab} + \sqrt{ad}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}) \geq 1$$

Como la igualdad de $MA-MG$ se da sí y sólo sí $a=b=c=d$, pero $a>c$ y $d>b$, entonces $a+b+c+d>1$ estrictamente.