IMO 2025

Considere una cuadrícula de $2025 \times 2025$ cuadrados unitarios. Matilda desea colocar en la cuadrícula algunas fichas rectangulares, posiblemente de diferentes tamaños, de modo que cada lado de cada ficha se encuentre sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario esté cubierto como máximo por una ficha.

Determine el mínimo número de fichas que Matilda debe colocar para que cada fila y cada columna de la cuadrícula tenga exactamente un cuadrado unitario que no esté cubierto por ninguna ficha.

Alicia y Bazza juegan al $inekoalaty$, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$ conocido por ambos. En el turno $n$ del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:

• Si $n$ es impar, Alicia elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1 + x_2 + \dots + x_n \leq \lambda n$$
• Si $n$ es par, Bazza elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leq n$$

Si un jugador no puede elegir un $x_n$ adecuado, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente ningún jugador gana. Ambos jugadores conocen todos los números elegidos. 

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.

La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.

Determina todos los valores posibles de $a_1$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si

$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$

Para todos los enteros positivos $a, b$.

Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.

Sea $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$  respectivamente tales que el radio de $\Omega$ es menor al radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C, \ M,\  N, \ D$ están en esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F \neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$.

Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BEF$.

Una recta del plano se llama $soleada$ si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$. 

Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano tal que:

• Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de las rectas
• Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas