IMO 2010

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún entero positivo $s$,
$$a_n = \textrm{max}\{a_k + a_{n-k} \textrm{ tal que } 1 \leq k \leq n - 1\}$$
para todo $n > s$. Demuestre que existen enteros positivos $\ell$ y $N$, con $\ell \leq s$, tales que $a_n = a_\ell + a_{n-\ell}$ para todo $n \geq N$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que $$\left( g(m) + n\right) \left(m + g(n) \right) $$
es un cuadrado perfecto para todo $m, n \in \mathbb{N}$.

En cada una de las seis cajas $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$ hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones:

• Tipo 1: Elegir una caja no vacía $B_j$ , con $1 \leq j \leq 5$. Retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$.
• Tipo 2: Elegir una caja no vacía $B_k$, con $1 \leq k \leq 4$. Retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$.

Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ vacías y a la caja $B_6$ con exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas. (Observe que $a^{b^c} = a^{(b^c)}$.)

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sean $E$ un punto en el arco $\widehat{BDC}$ y $F$ un punto en el lado $BC$ tales que
$$\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2} \angle BAC.$$
Sea $G$ el punto medio del segmento $IF$. Demuestre que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Las rectas $AP,BP,CP$ cortan otra vez a $\Gamma$ en los puntos $K,L,M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Demostrar que si $SC=SP$ entonces $MK=ML$.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(\lfloor x \rfloor y)= f(x) \lfloor f(y) \rfloor$$ para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)