VIII ONMAS 2008

Problema

Problema 1, ONMAS 2008

Enviado por arbiter-117 el 22 de Mayo de 2009 - 21:42.

¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene el número $ 2008^{2008} $ ?

Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema4

Enviado por jesus el 9 de Junio de 2008 - 18:30.

Francisco olvidó la clave de su tarjeta de banco y quiere realizar un retiro. Apenas recuerda que su clave contiene 4 dígitos y cumplen lo siguiente

  • ninguno de los dígitos es 0 ni es mayor que 5
  • no hay dígitos repetidos
  • no hay dos dígitos adyacentes que sean números consecutivos
  • la clave es un múltiplo de 4

Por ejemplo, el código 5413 no cumple porque el 4 y el 5 son cifras consecutivas, y el código 1135 no cumple porque se repite el 1. Francisco, que tiene muy mala suerte, probó todos los casos posibles y funcionó hasta que probó la última posibilidad. ¿Cuántos casos probó Francisco?

Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 3

Enviado por jesus el 9 de Junio de 2008 - 17:59.

Juan tiene que llevar una ficha desde la esquina A hasta la esquina B, moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero. La ficha puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda (la ficha puede pasar varias veces por el mismo punto). Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna por la que atraviesa. Cuando la ficha finalmente llega a la esquina B, Juan multiplica todos los números que anotó. Encuentra todos los caminos donde el producto de los números anotados por Juan es 8640. Justifica tu respuesta.

Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 6

Enviado por jesus el 8 de Junio de 2008 - 23:52.

En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.

Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema5

Enviado por jesus el 8 de Junio de 2008 - 23:51.

Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la fila sea siempre múltiplo de 5. ¿Cuál es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la filal.

Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 1

Enviado por jesus el 8 de Junio de 2008 - 23:48.

Se tiene un cubo con las seis caras de diferente color y deseamos colocar los números del 1 al 6 en las caras del cubo (uno en cada cara). ¿De cuántas formas podemos realizar el acomodo, si deseamos que la suma de los números que están en caras opuestas sea 7?

Problema

ONMAS 2008, Nivel 1, Problema 2

Enviado por jesus el 8 de Junio de 2008 - 23:48.

Sean G una circunferencia de centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B los puntos en que G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A y B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.

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