Geometría

Calcular el radio del incírculo de un triángulo cuyos lados miden 3,4,5.

Sobre el lado $AB$ del cuadrado $ABCD$, se traza un triángulo equilátero externo $ABE$. Calcular la medida del ángulo $AED.$
 

En un triángulo $ ABC $ los lados $ AC $ y $ BC $ son iguales. Un punto $D$ en el lado $ BC $ es tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ son isósceles. Si $AD=AB$ ¿cuánto mide el ángulo en $B$?

En un círculo de centro $O$ y radio $5k$, se traza un cuadrado. Uno de sus lados es cuerda de la circunferencia y el lado opuesto a la cuerda pasa por el centro $O$. Calcular la longitud del lado del cuadrado en términos de $k$.
 

Sean H,O el ortocentro y circuncentro del triangulo ABC con AB distinto de AC. Sea T la circunferencia circunscrita al triangulo ABC. La prolongacion de la mediana AM del triangulo ABC, corta a T en el punto N y la circunferencia de diametro AM corta a T en los puntos A y P. Demuestra que las rectas AP, BC y OH son concurrentes si y solo si AH=NH

Sea $ ABC $ un triángulo con incentro $I$ y $AB$  menor que $AC$. Sean $D,E,F$  los puntos de tangencia del incírculo con los lados $BC,CA, AB$, respectivamente. Sean $ H $  la intersección de $BI$ con $EF$, y $G$ la intersección de $CI$ con $EF.$ 

a) Demostrar que $I$ es el incentro del triángulo $DGH.$

b) Demostrar que las rectas $BG$ y $CH$ concurren sobre la perpendicular a $ BC $ que pasa por $D.$

En un triángulo $ ABC $, el ángulo $ A $  mide el doble que el $ C $. Se traza la mediana $BD$ al lado $CA$ ($D$ es punto medio de $ CA $). Si el ángulo $ DBC $ es igual al ángulo en $ A $, calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ ABC $.

En un triangulo $ABC $ donde $AD$ es la altura ($D$ sobre $ BC$)sea $P$ cualquier punto sobre $AD$, Y sean $E,F$las intercecciones de $BP,CP$ con $AC,AB$ respectivamente. Entonces se cumple que $AD$ es la bisectriz del angulo $EDF$

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $A,B$, respectivamente. Desde $A$ se trazan las tangentes a $AR,AS$ con $R,S$ los puntos de tangencia, ademas estas rectas cortan a $C_1$ en $C,D$. De la misma forma se trazan las tangentes $BP,BQ$ a $C_1$ con $P,Q$ los puntos de tangencia, estas mismas cortan a $C_2$ en $E,F$, respectivamente. Entonces $EF=CD$

Sea ABCD un trapecio con AB parelelo a CD y S la interseccion de sus diagonales. Demostrar: a)ASD y BSC tienen la misma area. b) S es punto medio del segmento paralelo a las bases, que pasa por S y con extremos en los lados del trapecio.