Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $MH$ por $H$ corta a $AB$ en $L$ y a $AC$ en $N$. Demuestra que $LH=HN$.
NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo.
Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.
LNBC es cíclico M es el
LNBC es cíclico
M es el centro del círculo. Se sigue que LH=HN por implicación directa del teorema de la mariposa.
Bonito problema, había salido en una onmaps creo :p
Hola Andre, la neta nunca vi
Hola Andre, la neta nunca vi porque $LNCB$ es ciclico jajaja.
Aqui les va una sol muy
Aqui les va una sol muy tecnica, pero mata el problema en menos de 5 minutos.
Usando la configuración del hortocentro y el circuncírculo:
Son hechos conocidos las siguientes dos características:
a) $H, M, A'$ son colineales, siendo $A'$ el punto diametralmente opuesto a $A$ y la reflexión de $HM$.
b) $HCA'M$ es paralelogramo. De aquí se concluye que $\angle HBA' = HCA'$
Ahora, como $AA'$ es diámetro, entonces $\angle ACA' = \angle ABA' = 90$°.
De aquí obtenemos que $HNCA'$ y $HLBA'$ son cíclicos, por lo que por moñitos $\angle HLA' = \angle HBA' = \angle HCA' = \angle HNA'$, por lo que $\triangle LA'N$ es isósceles. Como $H$ es pie de altura de dicho triángulo, entonces $HA'$ es todotriz concluyendo que $LH = NH$.