Geometría

Problema

Problema 3. 21a OMM Final Estatal

Enviado por vmp el 26 de Julio de 2022 - 14:24.

En la figura, ABC es un triángulo isósceles con |AB|=|AC|; D es un punto sobre AC tal que DB es perpendicular a BC; E es un punto sobre la recta BC tal que |CE|=2|BC| y F es un punto sobre ED tal que FC es paralela a AB. Probar que la recta FA es paralela a BC.

Problema

Problema 4 - IMO 2022 - Un cíclico a partir de un pentágono

Enviado por jesus el 20 de Julio de 2022 - 10:19.
Sea ABCDE un pentágono convexo tal que BC=DE. Supongamos que existe un punto T en el interior de ABCDE tal que TB=TD, TC=TE y ABT=TEA. La recta AB corta a las rectas CD y CT en los puntos P y Q, respectivamente. Supongamos que los puntos P , B, A, Q aparecen sobre su recta en ese orden. La recta AE corta a las rectas CD y DT en los puntos R y S, respectivamente. Supongamos que los puntos R, E, A, S aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos P , S, Q, R están en una misma circunferencia
Problema

Hexágono dentro de triángulos equilateros.

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:34.

La siguiente figura está formada por 6 triángulos iguales de lado igual al doble del lado del hexágono central. ¿Qué fracción de la figura completa representa el hexágono central?

Problema

Uno imposible de un octágono

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:17.

El área total del siguiente octágono es de 2022 cm2, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Problema

Suelo con mosaicos

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:05.

Un suelo se va a llenar con mosaicos como el siguiente, formado por mosaicos cafés más pequeños como los mostrados en la figura. El área blanca se llenará con mosaicos azules del mismo tamaño que el café. Al llenarse todo el suelo se utilizaron 192 cafés, ¿cuántos mosaicos azules fueron necesarios? 

Problema

Halla el perímetro

Enviado por Samuel Elias el 9 de Julio de 2022 - 14:08.

Sobre los lados de un cuadrado de 20 x 20 cm se dibujan cuadrados de 5 x 5 cm como se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura? 

Problema

Triángulo con ángulo de 60º (OMM 2021 P4)

Enviado por jesus el 17 de Diciembre de 2021 - 17:58.

Sea ABC un triángulo acutángulo escaleno con BAC=60 y ortocentro H. Sea ωb la circunferencia que pasa por H y es tangente a AB en B, y ωc la circunferencia que pasa por H y es tangente a AC en C.

  • Prueba que ωb y ωc solamente tienen a H como punto común
  • Prueba que la recta que pasa por H y el ortocentro O de ABC es tangente común a ωb y ωc
Problema

Es punto medio si y sólo si el otro es punto medio (OMM 2021 P2)

Enviado por jesus el 20 de Noviembre de 2021 - 23:17.

Sea ABC un triángulo tal que ACB>90 y sea D el punto de la recta BC tal que AD es perpendicular a BC. Considere Γ la circunferencia de diámetro BC. Una recta que pasa por D es tangente a la circunferencia Γ en P, corta al lado AC en M (quedando M entre A y C) y corta al lado AB en N.

Demuestra que M es punto medio de DP si, y sólo si N es punto medio de AB.

Problema

Demostrar que es equilatero

Enviado por Milton Lozano A... el 4 de Febrero de 2018 - 13:12.

Sea ABCD un cuadrado.

Se construyen 2 triangulos equilatero hacia afuera, CDE y BCF, se trazan las circunferencia con centro en E y con Centro en F que pasan por CD y BC respectivamente.
Sea P la interseccion de las circunferencias.

Demuestra que el trianguo PDB es equilatero.

Problema

Tangentes si y sólo si perpendiculares

Enviado por German Puga el 13 de Diciembre de 2016 - 17:06.

Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, l1 la recta paralela a BC que pasa por A y l2 la recta paralela a AD que pasa por B. La recta DC corta a l1 y l2 en los puntos E y F, respectivamente. La recta perpendicular a l1 que pasa por A corta a BC en P y la recta perpendicular a l2 por B corta a AD en Q. Sean Γ1 y Γ2 las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos ADE y BFC, respectivamente. Demuestra que Γ1 y Γ2 son tangentes si y sólo si DP es perpendicular a CQ.

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