Geometría
Problema 3. 21a OMM Final Estatal
En la figura, ABC es un triángulo isósceles con |AB|=|AC|; D es un punto sobre AC tal que DB es perpendicular a BC; E es un punto sobre la recta BC tal que |CE|=2|BC| y F es un punto sobre ED tal que FC es paralela a AB. Probar que la recta FA es paralela a BC.
Problema 4 - IMO 2022 - Un cíclico a partir de un pentágono
Hexágono dentro de triángulos equilateros.
La siguiente figura está formada por 6 triángulos iguales de lado igual al doble del lado del hexágono central. ¿Qué fracción de la figura completa representa el hexágono central?

Uno imposible de un octágono
El área total del siguiente octágono es de 2022 cm2, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Suelo con mosaicos
Un suelo se va a llenar con mosaicos como el siguiente, formado por mosaicos cafés más pequeños como los mostrados en la figura. El área blanca se llenará con mosaicos azules del mismo tamaño que el café. Al llenarse todo el suelo se utilizaron 192 cafés, ¿cuántos mosaicos azules fueron necesarios?

Halla el perímetro
Sobre los lados de un cuadrado de 20 x 20 cm se dibujan cuadrados de 5 x 5 cm como se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?

Triángulo con ángulo de 60º (OMM 2021 P4)
Sea ABC un triángulo acutángulo escaleno con ∠BAC=60∘ y ortocentro H. Sea ωb la circunferencia que pasa por H y es tangente a AB en B, y ωc la circunferencia que pasa por H y es tangente a AC en C.
- Prueba que ωb y ωc solamente tienen a H como punto común
- Prueba que la recta que pasa por H y el ortocentro O de ABC es tangente común a ωb y ωc
Es punto medio si y sólo si el otro es punto medio (OMM 2021 P2)
Sea ABC un triángulo tal que ∠ACB>90∘ y sea D el punto de la recta BC tal que AD es perpendicular a BC. Considere Γ la circunferencia de diámetro BC. Una recta que pasa por D es tangente a la circunferencia Γ en P, corta al lado AC en M (quedando M entre A y C) y corta al lado AB en N.
Demuestra que M es punto medio de DP si, y sólo si N es punto medio de AB.

Demostrar que es equilatero
Sea ABCD un cuadrado.
Se construyen 2 triangulos equilatero hacia afuera, CDE y BCF, se trazan las circunferencia con centro en E y con Centro en F que pasan por CD y BC respectivamente.
Sea P la interseccion de las circunferencias.
Demuestra que el trianguo PDB es equilatero.
Tangentes si y sólo si perpendiculares
Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, l1 la recta paralela a BC que pasa por A y l2 la recta paralela a AD que pasa por B. La recta DC corta a l1 y l2 en los puntos E y F, respectivamente. La recta perpendicular a l1 que pasa por A corta a BC en P y la recta perpendicular a l2 por B corta a AD en Q. Sean Γ1 y Γ2 las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos ADE y BFC, respectivamente. Demuestra que Γ1 y Γ2 son tangentes si y sólo si DP es perpendicular a CQ.
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