Experto

Sean $r$ y $s$ dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea $AB$ su perpendicular común, donde $A$ pertenece a $r$ y $B$ a $s$. Se considera la esfera de diámetro $AB$. Los puntos $M$, de la recta $r$ y $N$, de la recta $s$, son variables, con la condición de que $MN$ sea tangente a la esfera en un punto $T$. Determine el lugar geométrico de $T$. Nota: el plano que contiene a $B$ y $r$ es perpendicular a $s$.

Sea $n$ un número entero mayor que 1. Determine los números reales $x_1, x_2,\ldots, x_n\leq 1$ y $x_{n+1}>0$, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
$$\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n-1]{x_n}=n\sqrt[2]{x_{n+1}}$$
$$\frac{x_1+x_2+ \ldots +x_n}{n}=x_{n+1}$$

Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales $x_0, x_1,\ldots,x_k$, con $k < 1100000$, $x_0 = 1, x_k = n$ tal que para cada $i = 1, 2,\ldots, k$, existen $r, s$ con $0\leq r < i, 0 \leq s < i$, y $x_i = x_r + x_s$.

Dos números enteros no negativos $a, b$ son "cuates" si $a + b$ tiene solamente ceros y unos en su expresión decimal. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos infinitos de enteros no negativos tales que $B$ es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de $A$ y $A$ es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de $B$. Pruebe que en uno de los conjuntos $A$ o $B$ hay infinitos pares de números $x, y$ tales que $x - y = 1$.

A partir del triángulo $T$ de vértices $A, B, C$, se construye el hexágono $H$ de vértices $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ como se muestra en la figura. Demostrar que

Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de $f$ es tangente al eje $x$, entonces $f(x)$ tiene sus 3 raíces racionales.

Sea un entero positivo.  Se considera

Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satisface $$f(x + y)\leq yf(x) + f(f(x))$$ para todo par de números reales $x, y$. Demostrar que $f(x) = 0$ para todo $x\leq0$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $l$ una tangente a $\Gamma$, y sean $l_a,l_b,l_c$ las rectas obtenidas de $l$ mediante reflexión en $BC,CA,AB$, respectivamente. Demostrar que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $l_a,l_b,l_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.

Sean $n \geq 2$ un número entero y $D_n$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano cuyas coordenadas son números enteros con $-n \leq x  \leq n $ y $-n \leq y \leq n$