Problemas
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Tangentes si y sólo si perpendiculares
Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, $l_1$ la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ y $l_2$ la recta paralela a $AD$ que pasa por $B$. La recta $DC$ corta a $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. La recta perpendicular a $l_1$ que pasa por $A$ corta a $BC$ en $P$ y la recta perpendicular a $l_2$ por $B$ corta a $AD$ en $Q$. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos $ADE$ y $BFC$, respectivamente. Demuestra que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son tangentes si y sólo si $DP$ es perpendicular a $CQ$.
Problema clásico con solución atípica
En una cuadrícula de $ n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del 1 al n, en el segundo los números del n+1 al 2n, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen esos dos cuadraditos. Por ejemplo, aquí abajo se muestran dos operaciones sucesivas permitidas en una cuadrícula de 4x4: primero restando 7 a los cuadraditos sombreados y luego sumando 5 a los sombreados.
Múltiplo de 7 con dígitos consecutivos
Decimos que un número entero no-negativo $n$ contiene a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$. Por ejemplo 2016 contiene a 2,0,1,6, 20, 16, 201 y 2016. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de 7.
Desigualdades con parte entera
Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades:
$$ \lfloor x \rfloor < \lfloor x^2 \rfloor < \lfloor x^3 \rfloor < \dots < \lfloor x^n \rfloor < \lfloor x^{n+1} \rfloor < \dots $$
Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual a $x$, es decir, es el único número entero que cumple que $ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$.
Parejas Guerreras
Una pareja de enteros positivos $m,n$ es guerrera si existen enteros positivos $a,b,c,d$ con $m=ab, n=cd$ y $a+b=c+d$. Por ejemplo, la pareja 8,9 es guerrera pues $8 = 4 \cdot 2 , 9=3 \cdot 3$ y $4+2=3+3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera:
- Empezamos coloreando el 3 y el 5.
- Después , si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos.
Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.
Circunferencias con relación de radios
Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $\mathcal{C}_2$ es el triple del radio de $\mathcal{C}_1$. Sea $l$ una recta que es tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$ y tangente a $\mathcal{C}_2$ en $Q$, con $P$ y $Q$ distintos de $S$. Sea $T$ el punto en $\mathcal{C}_2$ tal que $TQ$ es diámetro de $\mathcal{C}_2$ y sea $R$ la intersección de la bisectriz de $\angle SQT$ con el segmento $ST$. Demuestra que $QR = RT$
Números norteños
Un entero positivo $N$ es norteño si para cada dígito $d >0$, existe un divisor de $N$ cuyo último dígito es $d$. ¿Cuántos números norteños menores que 2016 hay que tengan la menor cantidad posible de divisores?
Tercia de reales
Encuentra todas las ternas de reales $(a,b,c)$ tales que $$ a- \frac{1}{b} = b - \frac{1}{c} = c - \frac{1}{a}$$
Punto exterior a un cuadrado
Sea $ABCD$ un cuadrado. P un punto sobre la semicircunferencia de diámetro AB exterior al cuadrado. Sean M y N las intersecciones de PD y PC con AB, respectivamente. Demuestra que $MN^2 = AM \cdot BN$
encontrar ecuacion
hallar dos numeros pares consecutivos de tal forma que 1/5 del primero,mas 7/11 del segundo,menos 8,sea igual a 1/2 del segundo menos 1
Cuadritos unitarios distanciados
Considera un tablero de $n \times n$, con $n \geq 5$. Dos cuadritos unitarios se dice que son distanciados si no se encuentran en el mismo renglón ni en renglones consecutivos y tampoco en la misma columna ni en columnas consecutivas. Se toman 3 rectángulos con vértices y lados sobre los puntos y lineas del tablero de manera que si dos cuadritos unitarios pertencen a distintos rectángulos entonces son distanciados . ¿De cuántas maneras es posible hacer esto?
Cíclico dentro de un isóceles
Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ de gravicentro $G$. $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente y $O$ el circuncentro del trángulo $BCN$. Muestra que $MBOG$ es un cuadrilátero cíclico.
Suma de cubos igual a 2016
Determina si existen alguna terna de enteros no negativos, no necesariamente distintos, $(a,b,c)$ tales que:
$$a^3 + b^3 + c^3 =2016$$
$n$ y $n^2$ con misma terminación. Selectivo 2016
Encuentra todos los números naturales $n$ de tres dígitos que son iguales al número formado por los tres últimos dígitos de $n^2$.
Geometría del Primer Selectivo 2016
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $E$ y $F$ puntos sobre la recta $AB$ pero fuera del segmento $AB$ con $A$ entre $E$ y $B$ y $B$ entre $A$ y $F$. Demuestra que si $\angle BED = \angle AFC = \angle DAC$ entonces $EA=BF$.
Álgebra del Primer Selectivo 2016
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m$ y $n$ tales que $$(m^2+n)(m+n^2)=(m+n)^3.$$
Triángulos Tranquilos
Considera un tablero cuadrículado de manera regular cuya área es $N$. Al colocar un triángulo no degenerado dentro de él (que puede quedar en los bordes) decimos que es tranquilo, si cada vértice coincide con algún vértice de los cuadritos unitarios interiores, además si uno de sus lados es paralelo a algún lado del tablero. Supón que se han colocado $N+1$ triángulos tranquilos, muestra que hay dos con la misma área.
Problema 6 - IMO 2016 - Malfalda silba y las ranas saltan
Se tienen $n \geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n -1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.
Problema 5 - IMO 2016 - Quita términos lineales de ambos lados
En la pizarra está escrita la ecuación $$(x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016) = (x -1)(x- 2)\cdots (x-2016)$$ que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos 4032 factores lineal, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.
Problema 4 - IMO 2016 - Conjunto de enteros fragantes
Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si tiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de elementos restantes. Sea $P(n) = n^2 + n + 1$. Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto $$\{P(a+1), P(a+2), \dots, P(a + b)\}$$ es fragante.