Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema 10
En tierras muy lejanas había una mujer que tenía 9 hijos y los tuvo en intervalos regulares de 15 meses. El mayor de ellos tenía 6 veces la edad del menor. ¿Cuál era la edad del menor?
Problema 9
Un polígono regular de $n$ lados es seccionado en dos partes mediante un solo corte recto. Una parte es un triángulo y la otra es un polígono de $m$ lados. ¿Cómo se relacionan $m$ y $n$ ?
Problema 8
En una sucesión de 6 números, cada término después del segundo es la suma de los dos anteriores. Sabiendo que los 6 suman 13 y que el último término es cuatro veces el primero, calcula el primer término
Problema 7
Encuentra los valores de $a$ y $b$ enteros positivos en los que se cumpla que $a/5 + b/7 = 31/35$
Problema 6
180 multiplicado por un entero positivo $N$ resulta en un cubo perfecto (un número elevado al cubo). ¿Cuál es el mínimo valor posible de $N$ ?
Problema 5
Ana tiene un número secreto de 6 dígitos con las siguientes características:
- Clave 1: Es el mismo número al leerlo si se lee de derecha a izquierda.
- Clave 2: Es múltiplo de 9.
- Clave 3: Si se eliminan los dígitos extremos (el primero y el último) el número que resulta es múltiplo de 11 y solamente del 11.
¿Cuál es el número secreto de Ana?
Problema 4
Un reloj digital marca las 2 : 35. Ésta es la primera vez después de la medianoche en que los tres dígitos mostrados son números primos diferentes. ¿Cuál es la última vez antes del mediodía en que los tres dígitos en el reloj son números primos diferentes?
Problema 2
Si $a^2 + a$ = $2b^{2} + b = 210$ y $a + b = 24$ ¿cuánto vale $50a - 49b$ ?
Problema 3
Verónica tiene más faldas que blusas y afirma que puede vestirse todos los días de un año normal usando un conjunto falda-blusa sin repetir. Anahí le comenta que si fuera un año bisiesto esto no podría hacerlo. Hallar el número de faldas y blusas que tiene Verónica si se sabe que tiene más de una blusa.
Problema 1
Xavier tiene el mismo número de hermanas que de hermanos. Su hermana Yara tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y cuántas hermanas hay en esta familia?
Uno de si y solo si, con reflexión
Sea $H$ el ortocentro y $G$ el gravicentro del triángulo acutángulo $\triangle ABC,$ con $ AB \neq AC.$ La linea $AG$ intersecta al circuncirculo de $\triangle ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ la reflexión de $P$ en la línea $BC.$ Demuestra que $\angle CAB = 60°$ si y solo si $HG = GP'.$
Partición en m parejas
Sean m y n enteros positivos con m > 1. Anastasia particiona el conjunto de enteros $1,2,\dots,2m$ en m parejas. Luego Boris escoje un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos. Demuestra que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma sea igual a n.
Suma de cualesquiera dos consecutivos, cuadrado
Determina si existe una sucesión infinita $a_1,a_2,\dots$ de enteros positivos que satisface la igualdad $$a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1} + a_n}$$ para todo entero positivo n.
Máximo común divisor menor a n
Sean n y m enteros mayores a 1, y sean $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1,b_2,\dots,b_m$ menores o iguales a n, tales que $$ mcd( a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_m+b_m) < n,$$ donde $mcd(x_1,x_2,\dots,x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1,x_2,\dots,x_m$.
Fichas de dominó en un tablero de ajedrez
Una ficha de dominó es de $2\times 1$ o de $1\times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n\times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2\times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.
El primero de la EGMO
Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $\triangle ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45°$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.
Trapecio Isósceles circunscrito a una circunferencia
Un trapecio Isósceles ABCD esta circunscrito a una circunferencia, sus bases miden 4mts y 9mts. Hallar el área del trapecio.
Mediatrices que pasan por un punto fijo
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $P,Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tal que $AP = CQ$. Demostrar que la mediatriz de $PQ$ pasa por un punto fijo al variar $P$.
XXVIII OMM Problema 6
Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, por lo que $d(6)=4$.
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que
$$n+d(n)=d(n)^2$$.
XXVIII OMM Problema 5
Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.