Problema 6

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180 multiplicado por un entero positivo $N$ resulta en un cubo perfecto (un número elevado al cubo). ¿Cuál es el mínimo valor posible de $N$ ?




Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

 Para que el número que

 Para que el número que resulta del producto $180N$ sea un cubo perfecto, sus factores primos deben estar elevados al menos al cubo (o a la potencia múltiplo de 3 más cercana posible). Vemos que la factorización canónica de 180 es $2^{2}3^{2}5^{1}$ . Luego $N$ debe de "complementar" a los factores primos de $180$ para que en $180N$ estén a la potencia múltiplo de 3 más cercana, que en este caso en los 3 factores primos sería 3, por lo que $N = 2^{1}3^{1}5^{2}$ y  así $180N = (2^{2}3^{2}5^{1})(2^{1}3^{1}5^{2}) = 2^{3}3^{3}5^{3} = 30^{3} $, que es en efecto un cubo perfecto. Finalmente el mínimo valor posible de $N$ es $2^{1}3^{1}5^{2} = 150$

   
Imagen de Jesus Salvador Segura Morales

Disculpa desde mi punto de

Disculpa desde mi punto de vista y no es por ofender la respuesta a mi consideración es 20 yo resolví ese mismo problema Primero determine los divisores de 180 que son 1,2,3,4,5,6,10,12,15,18,20,60,90, 180 elimine todos los que fueran iguales o menores a 180/10=18 y me quedaban 20,60,90, y 180 180 lo multiplicó por el divisor más pequeño que quedó (20) 180x20 = 3600 para comprobar a 3600 le saco raíz √3600 = 60 y finalmente se que la incógnita es 20
Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

Solo que el problema decía

Solo que el problema decía que fuera un cubo perfecto (tiene raíz cúbica, o desde otro punto de vista es un entero multiplicado por si mismo 3 veces), y 3600 es un cuadrado perfecto (un entero multiplicado por sí mismo, que es para 3600 = 60x60 = $60^2$ ) , mas no un cubo perfecto. Y disculpa la pregunta, ¿a qué se debe el razonamiento de eliminar los menores a 18? Como otro dato, si quisieras ver el mínimo $N$ para cuando $180N$ es un cuadrado perfecto, igual viendo que $180= 2^23^25$ razonamos que para "complementarlo", necesitaríamos $N=5$, y así $180N = (2^23^25)(5) = (2^23^55^2) = 30^2 = 900$ .

Saludos, Alain Rivera.