Problemas
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Problema 1 - IMO 2019 - Determinar todas las función enteras.
Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. Determinar todas las funciones $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, $$f(2a) + 2f(b) = f (f (a + b)).$$
Demostrar que es equilatero
Sea ABCD un cuadrado.
Se construyen 2 triangulos equilatero hacia afuera, CDE y BCF, se trazan las circunferencia con centro en E y con Centro en F que pasan por CD y BC respectivamente.
Sea P la interseccion de las circunferencias.
Demuestra que el trianguo PDB es equilatero.
Pasa los caballos a las columnas, si puedes...
En un tablero de ajedrez de $2017 \times 2017$, se han colocado en la primera columna 2017 caballos, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simultánea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1\leq k \leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos estén en la columna $k$, uno en cada casilla.
Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a una $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3\times 2$ o de $2 \times 3$.
El seis de la ORO. (Paisanos)
Un cambio para un número natural $n$ consiste en agregar una pareja de ceros entre dos dígitos o al final de la representación decimal de $n$. Un paisano de $n$ es un número que se puede obtener haciendo uno o más cambios en $n$. Por ejemplo 40041 y 44001 son paisanos de 441. (Nota: 441 no es paisano de 44100). Determina todos los números naturales $n$ para los cuales existe un número natural $m$ con la propiedad de que $n$ divide a $m$ y a todos los paisanos de $m$.
Tangentes si y sólo si perpendiculares
Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, $l_1$ la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ y $l_2$ la recta paralela a $AD$ que pasa por $B$. La recta $DC$ corta a $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. La recta perpendicular a $l_1$ que pasa por $A$ corta a $BC$ en $P$ y la recta perpendicular a $l_2$ por $B$ corta a $AD$ en $Q$. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos $ADE$ y $BFC$, respectivamente. Demuestra que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son tangentes si y sólo si $DP$ es perpendicular a $CQ$.
Problema clásico con solución atípica
En una cuadrícula de $ n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del 1 al n, en el segundo los números del n+1 al 2n, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen esos dos cuadraditos. Por ejemplo, aquí abajo se muestran dos operaciones sucesivas permitidas en una cuadrícula de 4x4: primero restando 7 a los cuadraditos sombreados y luego sumando 5 a los sombreados.
Múltiplo de 7 con dígitos consecutivos
Decimos que un número entero no-negativo $n$ contiene a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$. Por ejemplo 2016 contiene a 2,0,1,6, 20, 16, 201 y 2016. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de 7.
Desigualdades con parte entera
Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades:
$$ \lfloor x \rfloor < \lfloor x^2 \rfloor < \lfloor x^3 \rfloor < \dots < \lfloor x^n \rfloor < \lfloor x^{n+1} \rfloor < \dots $$
Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual a $x$, es decir, es el único número entero que cumple que $ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$.
Parejas Guerreras
Una pareja de enteros positivos $m,n$ es guerrera si existen enteros positivos $a,b,c,d$ con $m=ab, n=cd$ y $a+b=c+d$. Por ejemplo, la pareja 8,9 es guerrera pues $8 = 4 \cdot 2 , 9=3 \cdot 3$ y $4+2=3+3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera:
- Empezamos coloreando el 3 y el 5.
- Después , si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos.
Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.
Circunferencias con relación de radios
Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $\mathcal{C}_2$ es el triple del radio de $\mathcal{C}_1$. Sea $l$ una recta que es tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$ y tangente a $\mathcal{C}_2$ en $Q$, con $P$ y $Q$ distintos de $S$. Sea $T$ el punto en $\mathcal{C}_2$ tal que $TQ$ es diámetro de $\mathcal{C}_2$ y sea $R$ la intersección de la bisectriz de $\angle SQT$ con el segmento $ST$. Demuestra que $QR = RT$
Números norteños
Un entero positivo $N$ es norteño si para cada dígito $d >0$, existe un divisor de $N$ cuyo último dígito es $d$. ¿Cuántos números norteños menores que 2016 hay que tengan la menor cantidad posible de divisores?
Tercia de reales
Encuentra todas las ternas de reales $(a,b,c)$ tales que $$ a- \frac{1}{b} = b - \frac{1}{c} = c - \frac{1}{a}$$
Punto exterior a un cuadrado
Sea $ABCD$ un cuadrado. P un punto sobre la semicircunferencia de diámetro AB exterior al cuadrado. Sean M y N las intersecciones de PD y PC con AB, respectivamente. Demuestra que $MN^2 = AM \cdot BN$
encontrar ecuacion
hallar dos numeros pares consecutivos de tal forma que 1/5 del primero,mas 7/11 del segundo,menos 8,sea igual a 1/2 del segundo menos 1
Cuadritos unitarios distanciados
Considera un tablero de $n \times n$, con $n \geq 5$. Dos cuadritos unitarios se dice que son distanciados si no se encuentran en el mismo renglón ni en renglones consecutivos y tampoco en la misma columna ni en columnas consecutivas. Se toman 3 rectángulos con vértices y lados sobre los puntos y lineas del tablero de manera que si dos cuadritos unitarios pertencen a distintos rectángulos entonces son distanciados . ¿De cuántas maneras es posible hacer esto?
Cíclico dentro de un isóceles
Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ de gravicentro $G$. $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente y $O$ el circuncentro del trángulo $BCN$. Muestra que $MBOG$ es un cuadrilátero cíclico.
Suma de cubos igual a 2016
Determina si existen alguna terna de enteros no negativos, no necesariamente distintos, $(a,b,c)$ tales que:
$$a^3 + b^3 + c^3 =2016$$
$n$ y $n^2$ con misma terminación. Selectivo 2016
Encuentra todos los números naturales $n$ de tres dígitos que son iguales al número formado por los tres últimos dígitos de $n^2$.
Geometría del Primer Selectivo 2016
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $E$ y $F$ puntos sobre la recta $AB$ pero fuera del segmento $AB$ con $A$ entre $E$ y $B$ y $B$ entre $A$ y $F$. Demuestra que si $\angle BED = \angle AFC = \angle DAC$ entonces $EA=BF$.
Álgebra del Primer Selectivo 2016
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m$ y $n$ tales que $$(m^2+n)(m+n^2)=(m+n)^3.$$