Determina si existen alguna terna de enteros no negativos, no necesariamente distintos, $(a,b,c)$ tales que:
$$a^3 + b^3 + c^3 =2016$$
Determina si existen alguna terna de enteros no negativos, no necesariamente distintos, $(a,b,c)$ tales que:
$$a^3 + b^3 + c^3 =2016$$
Mi casi talacha: Algunas
Mi casi talacha:
Algunas cosas inicialmente
Con esto lo dicho anterior entonces $a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \pmod{7}$ y tambien con lo dicho anterior las unicas formas q esto sea cierto es que $a^3 \equiv b^3 \equiv c^3 \equiv 0 \pmod {7}$ o $a^3 \equiv 0, b^3 \ equiv 1, c^3 \equiv -1 \pmod{7}$ y sus permutaciones.
a) Veremos el primer escenario donde todos son multiplos de 7 (cuando $x^3 \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow x es multiplo de 7$) como todos son multipos de 7 los denotaremos como $a=7A, b=7B, c=7C$ usando esto podemos sustituir los valores y obtenemos $(7A)^3 + (7B)^3 + (7C)^3=2016$ despues de destribuir exponentes y sacar $7^3$ por factor comun deja $A+B+C=2016/7^3$ pero $7^3$ no divide exactamente a $2016$ entonces este caso no se puede, por lo q falta ver el otro caso.
b) Vemos que con lo dicho al inicio, $a,b,c \leq 12$ y vamos a decir que $a^3 \equiv 0 \pmod {7}$ entonces $a$ solo tiene 2 valores, $0$ y $7$ vemos los 2 casos
$b_1$) $a=0$ en este caso se queda la ecuacion $b^3 + c^3 = 2016$
y voy a tomar el valor $12^3=1728$ vamos a decir que $b^3=1728$
usando esto si le sumas $c^3$ y $c \leq 6$ no alcanza lo 2016, luego el $c=7$ no se puede porq $c$ no es multiplo de 7, ya con eso te deja con $ 12 \geq c \geq 8$ y usando lo que hicimos inicial mente con los modulos, las parejas son $(b,c) (8,10 o 12) (9,10 o 12) (11,10 o 12)$ y haciendo la talachita no hay ninguno q satisface.
$b_2$) $a=7$ en este caso, ya restando el $7^3$ nos deja
$b^3 + c^3 = 1673$ y tambien $12^3 > 1673$ entonces $b,c \leq 11$
haciendo lo mismo q el anterior asumir uno es $11^3$ y los valores $c\leq 6$ no satifacen los 1673, y luego $c=7$ no se puede por lo q ya se dijo el caso pasado, entonces las parejas que nos queda ya despues de todo eso son $(b,c) (8,10) (9,10) (11,10) $ y ya por ultimo la talachita no dice que esos no cumplen,
$\therefore$ no hay ternas para $(a,b,c)$ no negativas
$\blacksquare$
Mi casi talacha: Algunas
Mi casi talacha:
Algunas cosas inicialmente
Con esto lo dicho anterior entonces $a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \pmod{7}$ y tambien con lo dicho anterior las unicas formas q esto sea cierto es que $a^3 \equiv b^3 \equiv c^3 \equiv 0 \pmod {7}$ o $a^3 \equiv 0, b^3 \equiv 1, c^3 \equiv -1 \pmod{7}$ y sus permutaciones.
a) Veremos el primer escenario donde todos son multiplos de 7 (cuando $x^3 \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow$ x es multiplo de $7$) como todos son multipos de 7 los denotaremos como $a=7A, b=7B, c=7C$ usando esto podemos sustituir los valores y obtenemos $(7A)^3 + (7B)^3 + (7C)^3=2016$ despues de destribuir exponentes y sacar $7^3$ por factor comun deja $A+B+C=2016/7^3$ pero $7^3$ no divide exactamente a $2016$ entonces este caso no se puede, por lo q falta ver el otro caso.
b) Vemos que con lo dicho al inicio, $a,b,c \leq 12$ y vamos a decir que $a^3 \equiv 0 \pmod {7}$ entonces $a$ solo tiene 2 valores, $0$ y $7$ vemos los 2 casos
$b_1$) $a=0$ en este caso se queda la ecuacion $b^3 + c^3 = 2016$
y voy a tomar el valor $12^3=1728$ vamos a decir que $b^3=1728$
usando esto si le sumas $c^3$ y $c \leq 6$ no alcanza lo 2016, luego el $c=7$ no se puede porq $c$ no es multiplo de 7, ya con eso te deja con $ 12 \geq c \geq 8$ y usando lo que hicimos inicial mente con los modulos, las parejas son $(b,c) (8,10 o 12) (9,10 o 12) (11,10 o 12)$ y haciendo la talachita no hay ninguno q satisface.
$b_2$) $a=7$ en este caso, ya restando el $7^3$ nos deja
$b^3 + c^3 = 1673$ y tambien $12^3 > 1673$ entonces $b,c \leq 11$
haciendo lo mismo q el anterior asumir uno es $11^3$ y los valores $c\leq 6$ no satifacen los 1673, y luego $c=7$ no se puede por lo q ya se dijo el caso pasado, entonces las parejas que nos queda ya despues de todo eso son $(b,c) (8,10) (9,10) (11,10) $ y ya por ultimo la talachita no dice que esos no cumplen,
$\therefore$ no hay ternas para $(a,b,c)$ no negativas
$\blacksquare$