Problemas

Sean n y m enteros mayores a 1, y sean $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1,b_2,\dots,b_m$ menores o iguales a n, tales que $$ mcd( a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_m+b_m) < n,$$ donde $mcd(x_1,x_2,\dots,x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1,x_2,\dots,x_m$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $\triangle ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45°$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $P,Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tal que $AP = CQ$. Demostrar que la mediatriz de $PQ$ pasa por un punto fijo al variar $P$.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.

Sean $\Gamma_{1}$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_{1}$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_{1}$ tocan la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_{2}$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interesecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{1}$ en el punto $D$, el segmento $DB$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_{1}$ en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Cada uno de los números del 1 al 4027 se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde.
Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son cuates si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números.
Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del 1 al 2014 sean verdes.

1. Se desea cercar un terreno de 2000m², expresa una ecuación que defina la cantidad de cerco en función de su lado de mayor longitud. Nota: Es un terreno rectangular.

2. Expresa el área de una caja con base cuadrangular si tiene un volumen de 16m² expresala en función de la longitud de su altura.

3.Se desea construir un cilindro de 40 cm³, expresa el área del cilindro en función de su radio.

Air Michael y Air Patrick operan vuelos directos que conectan Belfast, Cork, Dublin, Galway, Limerick y Waterford. Para cada par de ciudades exactamente una de las aerolíneas opera la ruta (en ambos sentidos) conectando las ciudades.Demostrar que hay cuatro ciudades para las cuales una de las aerolíneas opera un viaje redondo. (Un viaje redondo para las ciudades P,Q,R,S es un viaje que va de P a Q, de Q a R, de R a S y de S a P.)

Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p$ divide a $q+6$ y $q$ divide a $p+7$.