XXVIII OMM Problema 5

Enviado por vmp el 11 de Noviembre de 2014 - 11:46.
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Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.

Ver también: 
XXVIII OMM Problema 4
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Sorprendentemente fácil... si

Enviado por jmd el 17 de Noviembre de 2014 - 13:38.
Sorprendentemente fácil... si uno tiene los conocimientos elementales sobre desigualdades. Es una aplicación directa de la otra forma de ver Cauchy
Bueno, también hay que aplicar la geométrica-aritmética en la simplificación final...
 
Los saluda
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A dicha variante de

Enviado por jesus el 17 de Noviembre de 2014 - 18:08.

A dicha variante de Cauchy-Schwarz se le conoce como la desigualdad útil. Creo que fue butizada así por José Antonio y Mila en su libro de desigualdades. Pero en otros medios se le conoce como desigualdad de Titu (ver blog de problemsolverparadise).

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Imagen de jmd

Gracias Jesús por el dato. La

Enviado por jmd el 20 de Noviembre de 2014 - 19:43.

Gracias Jesús por el dato. La verdad el adjetivo de útil siempre me ha provocado una reacción de rechazo espontaneo. Pero a pesar de que el calificativo de útil es... cómo se diría... totalmente desafortunado y carente de toda creatividad, la verdad es que los diseñadores de problemas de la OMM la han convertido en muuuy útil. Prueba: el problema 3 del nacional 2009 se resolvía también en dos patadas con la útil.

Te saluda

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Aplicando directamente la

Enviado por Roberto Alain R... el 29 de Septiembre de 2015 - 21:09.
Aplicando directamente la desigualdad útil para 3 términos, tenemos que 
$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}$ ,
 y ya que a+b+c=3, la parte derecha de la desigualdad se convierte en $\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}$. 
 
Aplicamos desigualdad $MG-MA$ para 3 términos de la siguiente forma
 
$\sqrt[3]{ab} \leq \frac{a+b+1}{3}$
$\sqrt[3]{bc} \leq \frac{b+c+1}{3}$
$\sqrt[3]{ca} \leq \frac{c+a+1}{3}$
 
y sumando estas tres desigualdades tenemos $\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca} \leq \frac{2(a+b+c)+3}{3}$, y nuevamente como a+b+c=3
$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca} \leq \frac{2(3)+3}{3} = \frac{9}{3}=3$
 
Luego, tenemos que $\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$, y finalmente 
 
$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$
 
 Para la igualdad, recordamos que la igualdad en la desigualdad $MG-MA$ se logra sí y sólo sí todos los términos son iguales, y como una de las desigualdades es 
$\sqrt[3]{ab} \leq \frac{a+b+1}{3}$, tenemos que la igualdad se cumple cuando $a=b=c=1$
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Perfecto Alain, Tu

Enviado por jesus el 30 de Septiembre de 2015 - 11:22.

Perfecto Alain,

Tu demostración es correcta y tu explicación está clarísima.

Saludos

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Por cierto, debería ponerse

Enviado por Roberto Alain R... el 29 de Septiembre de 2015 - 22:31.

Por cierto, debería ponerse el problema como de Álgebra, no? 

Saludos, Alain.

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