Todos los primos tales que...

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Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p$ divide a $q+6$ y $q$ divide a $p+7$.




Imagen de Juan Garrido

No se si este bueno, pero

No se si este bueno, pero concluí lo sgte:

Como p|q+6, existe un "a" tal que q+6=ap (i), de la misma forma, si q|p+7, existe un "b" tal que p+7=bq (ii), notemos que del sistema de ecuaciones que se forma, con (i) y (ii), los valores de p, q, son los sgtes:

p=(6b+7)/(ab-1) (iii) ; q=(7a+6)/(ab-1) (iv)

Bien, es fácil ver que p,q no pueden ser pares, es cosa de inspeccionar con el 2. Luego p,q son impares, de esto, notemos que en (i) (q+6) es impar, luego ap tambien lo es, y como p es impar, se sigue que a es impar, de forma análoga en (ii), (p+7) es par, luego bq tambien lo es, como q es impar, se sigue que b es par.

Con esto último, vemos que en (iii) (6b+7) es impar, y (ab-1) es par, se sigue p es una fraccion irreductible, contradicción pues p es un entero primo, lo mismo ocurre con q en (iv), puesto que (7a+6) es impar y (ab-1) es par, luego q es una fracción irreductible, pero q es primo. Finalmente, se concluye que no existen p,q que cumplan lo pedido.

Imagen de German Puga

Hola, Esta muy padre ese

Hola,

Esta muy padre ese argumento de la contradiccion con la fraccion irreducible, pero si existen soluciones, inspeccionalo un rato, prueba con algunos primos. Por tus argumentos dices primero que b es par y despues afirmas que $ab - 1$ es par, lo cual es falso, entonces esto hace que tambien falle lo de la fraccion irreducible.

Saludos.

Imagen de jmd

Se suponía que si lo puse

Se suponía que si lo puse entonces tenía la solución. Pero no la encontré. De cualquier manera, inspeccionando un rato se ve que una solución es 19 y 13 (13+6=19 y 19+7=26). ¿Son todas? Creo que sí pero falta la demostración...
Los saluda
Imagen de German Puga

La demostración seria asi,

La demostración seria asi, sean (1) y (2) la primera y segunda divisibilidades respectivamente, de (1) se tiene que existe un $a$ tal que $ q = pa - 6$ de aqui que $ p \neq 2, 3$ pues $q$ seria factorizable. Ahora supongamos que $ p \neq q+6$ entonces de (1)  $p \leq \frac{q+6}{2} $ y de (2) por paridad  $q \leq \frac{p+7}{2}$ que es equivalente a $ 2p - 6 \leq q \leq \frac{p+7}{2} $ tomando en cuenta las desigualdades de los extremos entonces $ p \leq 6$ es decir $p=5$ y $q= 2,3$ pero da una contradicción en (1) de esta manera $ p = q+6$ y sustituyendo en (2) $q=13$ y $p=19$, acabamos.

Saludos.