Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Eficiencia ensayística estudiantil

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2013 - 17:01.

Abel y Brenda estudian sociología en la universidad. Para elaborar sus ensayos de fin de cursos utilizan el método estándar de copiar (de la Web) y pegar (en su ensayo). Usando Google Drive pueden elaborar juntos (pero cada quien desde su laptop) un ensayo de 48 páginas en 6 horas. Sin embargo, trabajando solo, Abel se tarda 16 horas más que Brenda --para elaborar un ensayo de 48 páginas . ¿Cuánto tarda Brenda para elaborar un ensayo de 48 páginas --usando copy and paste e independientemente de calidad?

Problema

Media y mediana

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 16:16.

Encontrar todos los números reales $x$ con la propiedad de que la mediana de $x,6,4,1,9$ coincide con su media.

Problema

Calcular una proporción

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 16:15.

Un grupo de $n$ alumnos presentó el examen de admisión en una universidad. Si se sabe que pasaron exactamente 2/3 de los varones y exactamente 3/4 de las mujeres, y que el número de mujeres que pasaron es igual al número de varones que pasaron el examen, calcular el porcentaje de alumnos que pasaron el examen.

Problema

Valor de una suma dadas ciertas condiciones

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 16:12.

Los enteros positivos $a,b,c$ satisfacen el sistema
$$c^2-a^2-b^2=101$$
$$ab=72$$
Encontrar el valor de $a+b+c$

Problema

Área del triángulo si...

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 16:10.

Si los enteros positivos $a,b,c$ son los lados de un triángulo rectángulo, y son tales que $a<b<c$ y $a+c=49$. Encontrar el área del triángulo. 

Problema

Cambio de base ¿cuál es la base?

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 16:08.

Si el número 86 en base 10 se representa como 321 en base $b$ ¿cuál es la representación en base 10 del número 123 en base $b$?

Problema

El club social

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2013 - 05:44.

Un club social de juniors y seniors tiene 15 miembros. Si hubiese 7 juniors más y 3 seniors más, la razón de juniors a seniors sería de 2/3 (2 juniors por cada 3 seniors). ¿Cuántos juniors tiene el club social?

Problema

Un problema de edades realmente difícil

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2013 - 05:41.

Beto tiene el doble de la edad que Sara tenía cuando Beto era de la edad que ahora tiene Sara. Si la suma de las edades de Sara y Beto es 28 años, calcular sus edades.

Problema

Adán y su abuela --un singular problema de edades

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2013 - 17:35.

 

El año pasado, Adán y su abuela tenían (cada uno) más de 9 y menos de 100 años, y sus edades eran números primos. Además, al invertir los dígitos de la edad de alguno de ellos, se obtenía la edad del otro. Este año, la edad de la abuela es múltiplo de la edad de Adán. ¿Cuántos años tenía la abuela cuando Adán nació?

 

Problema

Billar culichi --en triángulo equilátero

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2013 - 17:29.

En Culiacán tienen un juego de billar con mesas que tienen la forma de triángulo equilátero --cuyos lados miden 2 metros. El campeón de este juego es capaz de realizar un tiro de manera que la bola empieza en un vértice y, después de rebotar exactamente una vez en cada uno de los lados de la mesa, termina en otro vértice. Los rebotes en los lados de una mesa son tales que el ángulo de entrada es igual al ángulo de salida. Calcula la distancia que recorre la bola de billar al realizar ese trayecto.

Problema

Conjuntos cuadrilibres

Enviado por jmd el 18 de Mayo de 2013 - 04:46.

Un subconjunto del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} se dice cuadrilibre si la suma de los elementos de cualquier subconjunto de él no es un cuadrado. Por ejemplo, el subconjunto {1,3,8} no es cuadrilibre ya que tanto {1} como {1,8} son subconjuntos de él. ¿Cuál es el tamaño más grande que puede tener un subconjunto cudrilibre?

Problema

Números culichi

Enviado por jmd el 18 de Mayo de 2013 - 04:45.

Un número de tres cifras abc se llama culichi si cumple al mismo tiempo las siguientes condiciones:


  • al elevar al cuadrado el número abc se obtiene el número de cinco cifras defgh
  • al elevar al cuadrado el número cba (que también es de tres cifras) se obtiene el número de cinco cifras hgfed.

​Encuentra todos los números culichis.

Problema

Números lobola

Enviado por jmd el 18 de Mayo de 2013 - 04:42.

Un número lobola es un número formado por 10 dígitos diferentes que cumple las siguientes características:

  • abcdefghij son sus dígitos
  • abcd es divisor de 2013
  • cde y ef son múltiplos de 13

¿Cuántos números lobolas diferentes se pueden formar?

Problema

Números sinaloenses

Enviado por jmd el 14 de Mayo de 2013 - 20:10.

Una pareja de enteros positivos $a$ y $b$ se llaman sinaloenses si $20a+13b=2013$ y $a+b$ es un múltiplo de 13. Encuentra todas las parejas sinaloenses.

Problema

¿Cacería de ángulos? Sí, pero con trazo auxiliar...

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2013 - 18:29.

Sea $ABC$ un triángulo tal que sus ángulos $B$ y $C$ miden 100 y 62 grados, respectivamente. Sobre los lados $AB$ y $AC$ se toman los puntos $M$ y $N$, respectivamente, tales que $\angle{MCB}=52, \angle{NBC}=80$. Obtén la medida de $\angle{CMN}$

Problema

Algo de paridad

Enviado por Paola Ramírez el 27 de Marzo de 2013 - 14:49.

Demuestra que no existen soluciones enteras y positivas para la ecuacion $3^{m}+3 ^{n}+1=t^{2}$

Problema

Problema clásico de seccionado

Enviado por jmd el 17 de Septiembre de 2012 - 20:29.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Encontrar un punto $M$ en $BC$ (mostrar el procedimiento con prueba) de tal manera que $AM$ divida al cuadrilátero $ABCD$ en dos regiones de igual área.

Problema

Comparación indirecta de dos ángulos

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2012 - 17:47.

 

Sea $ABC$ un triángulo isósceles rectángulo en $C$. Si $D$ es el punto medio de $BC$ y la perpendicular a $AD$ por $C$ corta a $AB$ en $E$, demostrar que los ángulos $ADC$ y $EDB$ tienen la misma medida.

 

Problema

Ejercicio en congruencia de triángulos

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2012 - 17:30.

 

Dado el triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$,sean $D$ un punto en $AB$ y $E$ otro punto en la extensión de $AC$ de tal manera que $BD=CE$. Si $G$ es el punto de intersección de $DE$ con $BC$, demostrar que $DG=GE$.

 

Problema

¿Conectar datos a conclusión? ¡Línea media!

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2012 - 10:20.

Sea $D$ un punto en el lado $CA$ del triángulo $ABC$ de tal manera que $AB=CD$. Si $E,F$ son puntos medios de $AD,BC$, respectivamente, y $M$ es la intersección de de $AB$ y $FE$, demostrar que $AM=AE$.