Números divertidos

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Un entero positivo n es divertido si para todo divisor positivo d de n, d+2 es un número primo. Encuentre todos los npumeros divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.




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Las gracias le sean dadas a

Las gracias le sean dadas a Paola por llamar mi atención hacia este importante concurso. Los dos problemas que faltaban los tomé del facebook  Jóvenes Talentos de El Salvador --las gracias le sean dadas también.

Los saluda

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La respuesta, son 8 divisores

La respuesta, son 8 divisores y se cumple con  $3^3 \times 5$.

Por paridad n debe ser impar. Tomemos dos divisores primos de n  tal que sin perdida de generalidad ninguno sea 3, luego si alguno deja residuo 1 en mod 3 al aumentarle 2 es div. por 3 y no seria primo luego ambos tienen que dejar residuo 2 en mod 3. Al multiplicarlos obtenemos otro divisor de n, congruente a 1 en mod 3 y al aumentarle dos se vuelve divisible por 3. Entonces no existen tales dos divisores primos distintos de 3. 

Alguno de ellos debe ser tres y el otro debe ser un primo cuyo maximo exponente en la factorizacion prima de n, es uno. (pues este numero al cuadrado mas dos es div. por 3) Ahora analizamos el maximo exponente de 3 y veamos que es $3^4$ pues 3^5  +2  ya no es primo.   entonces digamos que el otro numero primo es p  asi nuestro posible candidato n es $3^4 \times p$ de aqui consideramos los residuos de los divisores de nuestro candidato n en mod 5.      si  p es congruente a 1,  el divisor $3^1 \times p$ ya no cumple las condiciones al aumentarle dos se vuelve divisible por 5. Si p deja residuo dos ya no se cumple con el divisor $3^2\times p$ por las misma razones que el caso anterior.  Si p deja residuo 3 no se cumple con $3^4\times p$. Si p deja residuo 4 no se cumple con 3^3\times p. y si deja residuo 0 no se cumple con 3^4\times 5 asi que el maximo exponente de tres que cumplira es 3  asi nuestro candidato es n = $3^3 \times p$  con p = 5 o con algun p congruente a 3 .  Pero con p = 5 funciona.

asi nuestro numero n es $3^3\times 5$ con los divisores   1,3,9,27,5,15,135  todos cumplen lo pedido.

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*Nota el problema nos pide

*Nota el problema nos pide encontrar todos los n, pero es claro que es el unico que funciona, esto partiendo desde hayar p, que es congruente a 3 o a 0 en mod 5.   pero si es congruente a 3 claramente p es un divisor de n y p+2 seria divisible por 5.

Saludos

Germán.