Problemas - Teoría de números
P5. Primos y potencias perfectas
Determina para cuales enteros positivos $n \geq 3$ existen $n$ números primos, no necesariamente distintos, $p_1, p_2, \dots , p_n$ tales que
$$p_1p_2+1, \ p_2p_3+1, \dots , p_{n-1}p_n+1, \ p_np_1+1$$
son todos potencias perfectas.
$Nota:$ una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ con $k \geq 2$ y $a, k$ enteros positivos.
Número de dos dígitos divisible del 1 al 9 (P4)
Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del $1$ al $9$.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $2202022002$.
P1. El regreso del piso, el ascenso del techo
5. Divisores cuadrados vs el doble
Sea $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ todos los divisores del entero positivo $n$, donde $k\geq 5$. Determina si exsiste alguna $n$ que cumpla que $$2n=d_3^2+d_4^2+d_5^2$$
P1. Aparición épica de Deker en la OMM Tamaulipas
Sea $n$ un entero positivo y sea $s(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ es $deker$ si $2s(n)=s(2n)$. Demuestra que existen más de 2025 números $deker$ de 5 dígitos.
P4. 4 números en el 4 del selectivo
Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$
P3. Coloreando la recta numérica
Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:
- El número $1$ es rojo.
- Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.
Determina el color del número $2025$.
P2. Números Tamaulipecos al estilo de Gauss
Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.
P3. Funciones Bonza
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si
$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$
Para todos los enteros positivos $a, b$.
Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.
P8. Permutando 2n números y múltiplos.
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(n, m)$ que cumplan lo siguiente: existe un entero impar $r$ con $0<r \leq m-1$, y una permutación $\{a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\}$ de $\{2, 3, \dots , 2n, 2n+1\}$ tales que los $n$ números
$$a_1b_1-r, a_2b_2-r, \dots , a_nb_n-r$$
son todos múltiplos de $m$.