Determina todos los enteros compuestos $n >1$ que satisfacen la siguiente propiedad:
Si $d_1, d_2, \dots, d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2< \cdots< d_k = n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para cada $1 \leq i \leq k-2$.
Notese que $d_2 | d_3+d_4
Notese que $d_2 | d_3+d_4 \iff d_3$ y $d_4$ son múltiplos de $d_2$ o si $d_3$ y $d_4$ son coprimos con $d_2$.
Veamos que $d_3$ y $d_4$ son múltiplos de $d_2 \iff d_3$ y $d_4$ son $d_2^2$ y $d_2^3$ respectivamente, ya que no tenemos más divisores primos además de $d_2$ .
Supongamos ahora que para algún divisor $d_j$, todos los divisores $d_i \le d_j$ cumplen que $d_i=2^{i-1}$. Consideremos ahora el divisor $d_{j-1}$, sabemos que $d_{j-1}|d_j+d_{j+1} \iff d_2^{j-2}|d_2^{j-1}+d_{j+1} \iff d_2^{j-2}|d_{j+1} \iff d_{j+1}=d_2^{j}$.
Entonces por inducción fuerte concluimos que las unicas soluciones para este caso son las potencias $d_2$, osea las potencias de primos.
Ahora en el caso en el que $d_3$ y $d_4$ son coprimos con $d_2$, notemos que $d_{k-2}|d_{k-1}+d_k$ y como $d_{k-1}=\frac{n}{d_2}$ y $d_k=n$ $\implies$ $d_{k-2}|\frac{n}{d_2}+n \iff \frac{n}{d_{k-2}}$ es múltiplo de $d_2$, pero sabemos que $d_3 \cdot d_{k-2}=n \iff d_{k-2}=\frac{n}{d_3} \implies \frac{n}{d_{k-2}}=d_3 \implies d_3$ es multiplo de $d_2$ lo cual es una contradicción.