Problemas - Geometría
P6. Un problema de excentros en la OMM
Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el excentro opuesto a $A$. La perpendicular a $AI$ por $I$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. La circunferencia $\omega_b$ es tangente a $EF$ y $AB$ en $B$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. Análogamente, la circunferencia $\omega_c$ es tangente a $EF$ y $AC$ en $C$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. La recta $IB$ corta de nuevo a $\omega_b$ en $X$ y la recta $IC$ corta de nuevo a $\omega_c$ en $Y$.
Sea $\omega_a$ el excírculo del triángulo $AEF$ opuesto a $A$. Pruebe que la reflexión de $\omega_a$ respecto a $EF$ es tangente a $XY$
Paralelas si y sólo si paralelas (P6)
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$.
Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$.
La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$.
Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$.
Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.
Una recta que pasa por el ortocentro(P2)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con sus vértices sobre la circunferencia $\mathcal C$.
Sea $l$ la recta tangente a $\mathcal C$ en el punto $A$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BA$ intersecta a la recta $l$ en $D$ y a la recta $AC$ en $E$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.
P1. Colinealidad en un P1???
Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $BD$ corta a las rectas $AD$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente distintos de $D$. La recta $EF$ interseca a $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B, \ P$ y $Q$ está en la recta $BD$.
P5. Sobreexplotando la configuración del ortocentro con una concurrencia.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sea $\Omega$ el circunírculo de $BHC$. Las rectas $AH$ y $AC$ cortan a $\Omega$ en $D \neq H$ y $E\neq C$ respectivamente. Sea $F \neq D$ la segunda intersección de $CD$ con el circuncírculo de $AED$. Demuestra que $AF, \ BC$ y $DE$ concurren.
P3. Paralelas con una tangente
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $D$ el pie de altura desde $A$ a $BC$, de tal forma que $AH=HD$. Sea $\mathcal{Z}$ el circuncírculo de $BHC$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{Z}$ por $H$, de tal forma que $\ell$ corta a $AB$ en $S$ y a $AC$ en $T$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$ respectivamente. Demuestra que $SM$ es paralela a $TN$.
6. Aplicación del EFR
2. Perpendicular a un lado con dos circunferencias.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y $\Gamma$ el círculo que pasa por los 3 vértices de $ABC$. Sea $\omega$ la circunferencia de radio $AB$ con centro $A$. $\omega$ corta a $\Gamma$ en $F \neq B$. Sea $G$ la segunda intersección de $CF$ con $\omega$ tal que $G \neq F$. Demuestra que $AC$ es perpendicular a $BG$.
P1. 24 sí y solo sí 48
Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $D$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $AD = AB$. Demuestra que $\angle DBC=24^{\circ}$ sí y sólo sí $\angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ}$.
P2. Paralela tangente a un circuncírculo
Sea $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$ respectivamente tales que el radio de $\Omega$ es menor al radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C, \ M,\ N, \ D$ están en esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F \neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$.
Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BEF$.