Problemas - Geometría
4. Cuadrados gemelos y una suma de lados
Sean $c_1$ y $c_2$ dos cuadrados idénticos que comparten un vértice $A$. Los cuadrados no se enciman y sólo comparten el vértice $A$. Sean $B$ y $C$ los vértices en $c_1$ y $c_2$ respectivamente tales que $AB$ y $AC$ son diagonales de los cuadrados. Sea $D$ un vértice en $c_1$ y $E$ en $c_2$ tales que el segmento $ED$ no interseca al segmento $BC$. Finalmente, sea $F$ el vértice restante en $c_1$ y $G$ el de $c_2$. Demuestra que $BC = DE + FG$.
3. Colinealidad en un cuadrilatero
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle ABC = \angle ADC$. Se consideran puntos $M$, $N$, $P$, $Q$ en los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, respectivamente, tales que $MB = QD$ y $NB = PD$. Sean $R$, $S$, $T$ puntos medios de los segmentos $MQ$, $BD$, $NP$, respectivamente. Demuestre que $R$, $S$ y $T$ son colineales.
Problema lindo de cross ratio de una lista del javi
En el triángulo $ABC$, sean $I$ el incentro e $I_B$, $I_C$ los excentros correspondientes a $B$ y $C$ respectivamente. Sean $P_B$ el punto donde $BI$ corta a $AC$, y $P_C$ el punto donde $CI$ corta a $AB$. Demuestra que $AI$, $I_CP_B$ e $I_BP_C$ son concurrentes
4. Cuerdas iguales con un cíclico.
Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tal que el cuadrilátero $FEBC$ es cíclico. Sea $G$ la intersección de los circuncírculos de $BED$ y $CFD$. Demuestra que $GF=GE$.
P1. Un p1 de Geo
Sea $ABCD$ un cuadrado. Sea $E$ un punto en el plano fuera de $ABCD$ de tal forma que el triángulo $AEB$ es equilatero. Los segmentos $AB$ y $EC$ se cortan en $P$. Calcula la medida de los ángulos $\angle APC$ y $\angle CEB$ para demostrar que $$\frac{\angle APC}{\angle CEB} = 7 $$
C. Razonamiento Geométrico
Observe la siguiente figura. Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ un punto en el plano opuesto a $B$ tal que el triángulo $ ADC$ es equilátero. Sean $E,F$ puntos en el plano opuestos a $C$ tales que $AEFB$ es un cuadrado. Suponiendo que $E,A,C$ son colineales y $A$ es el punto medio de $EC$, encuentra el valor del ángulo $\angle EDA$. Posteriormente, justifica intuitivamente por qué es posible trazar una circunferencia que pase por los puntos $B, C, D, E$.
4. Clásico de áreas sombreadas
En la siguiente figura, $ABCD$ es un paralelogramo. Sea $E$ el pie de altura desde $B$ (es decir, $E$ es un punto sobre $AD$ tal que $BE$ es perpendicular a $AD$). Calcula el área sombreada $BCDE$.
1. El regreso del concurso regional
Calcula el área del polígono $ABCDEF$.
6. El regreso del gravicentro a la Olimpiada de Matemáticas
Sea $ABC$ un triángulo y sean $X, Y, Z$ puntos en los rayos $BC$ (con origen en $B$), $CA$ (con origen en $C$) y $AB$ (con origen en $A$), respectivamente, tales que $BC=CX$, $CA=AY$, y $AB=BZ$. Demuestra que las medianas de $ABC$ y las medianas de $XYZ$ se cruzan todas en el mismo punto.
Nota: Un rayo es una línea que comienza en un punto fijo (llamado origen) y se extiende indefinidamente en una sola dirección).
1. Un Pentágono y Dos Equiláteros
En un pentágono regular $ABCDE$ se trazan dos triángulos equiláteros $\triangle FBE$ y $\triangle ABG$, como se muestra en la figura. Sea $H$ el punto de intersección de $BF$ con $AG$ ¿Cuál es el valor del ángulo $\angle FHG$?