Enviado por Samuel Elias el 22 de Noviembre de 2025 - 11:33.
Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $BD$ corta a las rectas $AD$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente distintos de $D$. La recta $EF$ interseca a $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B, \ P$ y $Q$ está en la recta $BD$.
Enviado por Brandon Guzmán N. el 9 de Enero de 2026 - 23:54.
Le dediqué un rato al problema y encontre otras formas formas de abordarlo, les dejo un par de soluciones más:
Solución 1:
Vamos a seguir la siguiente linea de ángulos aprovechando las paralelas.
BPQ=APE=EFD.
BQP=CQF=DEF
Por lo que los triángulos BQP y DEF son semejantes, y ya que BD corta los ángulos en D y B a la misma razón, pasa por ambos circuncentros.
Solución 2:
Sea R la intersección del circuncirculo de BPQ con BD.
Las siguientes igualdades de ángulos son fáciles de ver por las paralelas y los cíclicos (RPBQ, EDFB)
RPQ=RBQ=RDE=BFE
QPB=EPA=EFC
RPB=RPQ+QPB=BFE+EFC=BFD=90
Por lo tanto BR es diámetro como se quería demostrar.
Solución 3:
Trazamos la tangente al circuncirculo de BPQ que pasa por B, y corta en X e Y a AD y BC respectivamente. Basta probar que que XY también es tangente del circuncirculo de EDF.
Seguimos la siguiente secuencia de ángulos:
BAX=FCQ
XBA=XBP=BQP=CQF
Por lo que los triangulos ABX y CQF son semejantes.
Como EBD=EFD=DXB, se sigue que los triángulos BDE y XDB son semejantes, por lo que XB es perpendicular a DB, y por tanto tangente al circuncirculo por B, como se quería demostrar.
Solución 4:
Trazamos la tangente al circuncirculo de BPQ que pasa por B, y corta en X e Y a AD y BC respectivamente. Sea O el centro del circuncirculo BPQ.
Se cumple que OX2-OY2=BX2-BY2 ya que OB y XY son perpendiculares.
Usando las semejanzas de la solución 3 es fácil probar que DX2-DY2=BX2-BY2. Por lo que D,O y B están sobre la perpendicular a XY que pasa por B.
Se puede llegar a la solución del problema también con potencia de punto y la perpendicularidad de BF con DY y BE con DX.
Me gustaría ver las otras 8
Me gustaría ver las otras 8 soluciones :p
Le dediqué un rato al
Le dediqué un rato al problema y encontre otras formas formas de abordarlo, les dejo un par de soluciones más:
Solución 1:
Vamos a seguir la siguiente linea de ángulos aprovechando las paralelas.
BPQ=APE=EFD.
BQP=CQF=DEF
Por lo que los triángulos BQP y DEF son semejantes, y ya que BD corta los ángulos en D y B a la misma razón, pasa por ambos circuncentros.
Solución 2:
Sea R la intersección del circuncirculo de BPQ con BD.
Las siguientes igualdades de ángulos son fáciles de ver por las paralelas y los cíclicos (RPBQ, EDFB)
RPQ=RBQ=RDE=BFE
QPB=EPA=EFC
RPB=RPQ+QPB=BFE+EFC=BFD=90
Por lo tanto BR es diámetro como se quería demostrar.
Solución 3:
Trazamos la tangente al circuncirculo de BPQ que pasa por B, y corta en X e Y a AD y BC respectivamente. Basta probar que que XY también es tangente del circuncirculo de EDF.
Seguimos la siguiente secuencia de ángulos:
BAX=FCQ
XBA=XBP=BQP=CQF
Por lo que los triangulos ABX y CQF son semejantes.
Como EBD=EFD=DXB, se sigue que los triángulos BDE y XDB son semejantes, por lo que XB es perpendicular a DB, y por tanto tangente al circuncirculo por B, como se quería demostrar.
Solución 4:
Trazamos la tangente al circuncirculo de BPQ que pasa por B, y corta en X e Y a AD y BC respectivamente. Sea O el centro del circuncirculo BPQ.
Se cumple que OX2-OY2=BX2-BY2 ya que OB y XY son perpendiculares.
Usando las semejanzas de la solución 3 es fácil probar que DX2-DY2=BX2-BY2. Por lo que D,O y B están sobre la perpendicular a XY que pasa por B.
Se puede llegar a la solución del problema también con potencia de punto y la perpendicularidad de BF con DY y BE con DX.