P1. Colinealidad en un P1???

Enviado por Samuel Elias el 22 de Noviembre de 2025 - 10:33.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $BD$ corta a las rectas $AD$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente distintos de $D$. La recta $EF$ interseca a $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B, \ P$ y $Q$ está en la recta $BD$.

Sugerencia

Sugerencia:

Este problema tiene muchas soluciones, por lo que daré bastantes tips:

Sea $R$ la intersección del circuncírculo de $BPQ$ con $BD$, demuestra que $BR$ es diámetro.
Procede por punto fantasma, define a $O'$ como el punto que cumple que $BO'=QO'$ y demuestra que $\angle BPQ = 90 - \angle O'BQ$
Demuestra que $\triangle BPQ \sim \triangle DEF$ y usa homotecia
Angulea al fallo y concluye con la config del circuncentro.

Solución

Solución:

Todas las igualdades de ángulos que daremos son gracias a las paralelas y al cíclico $EBFD$.

$\angle BDF = \angle DBA$ por paralelas
$\angle EDB = \angle EFB$ por moños
$\angle ADC = \angle EDB + \angle BDF = \angle BCF$ por paralelas
$\angle DFE + \angle EFB = 90^\circ$ por ser $BD$ diámetro$

Entonces, $\angle BQP = \angle CQF = 180^{\circ}-\angle QCF - \angle QFC$ $ = 180^\circ - (\angle EDB + \angle BDF) - (90 - \angle QFB) = 90^\circ - \angle BDF$.

Sea $G$ el circuncentro de $BPQ$. Entonces, $\angle GBP = 90-\angle PQB = \angle BDF = \angle ABD$. Esto quiere decir que $G, \ B, \ D$ son colineales como se quería demostrar.

Me gustaría ver las otras 8

Enviado por Samuel Elias el 27 de Noviembre de 2025 - 16:53.

Me gustaría ver las otras 8 soluciones :p