Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
2.- Ataque de torres en un tablero cúbico.
Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n \times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ de este nuevo tablero cúbico están alineadas si podemos conectarlas por medio de un camino de casillas $a = c_1, c_2, \dots, c_m = b$ de manera que cada pareja de casillas consecutivas en el camino comparten un lado, y los lados que la casilla $c_i$ comparte con sus vecinas son lados opuestos del cuadrado $c_i$, para $i = 2, 3, \dots, m-1$. Diremos que dos torres colocadas sobre el tablero se atacan; si las casillas que ocupan están alineadas. David coloca algunas torres sobre el tablero de forma que ninguna ataque a otra.
1.- Números Tlahuicas
Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que
$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:
- 0 < x < 1
- existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.
El 6 del último selectivo 2022
Se definen las sucesiones xn y yn mediante las siguientes reglas:
- x0 = 2, x1 = 5, xn+1 = xn + 2xn-1
- y0 = 3, y1 = 4, yn+1 = yn + 2yn-1
Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.
Sin miedo al factorial
Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que n + u! sea un número de al menos 4 divisores
Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio
Sean α y β dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en α. La recta QX intersecta a β en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.
Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia
Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circuncírculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.
Múltiplos de 9 con restricciones
¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?
Promedio de un colección de m números
a) Demuestra que si a una colección de m números le agregamos su promedio, la nueva colección de m+1 números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño.
El 6 del estatal 2022
En una circunferencia Γ con centro en D se trazan dos tangentes AE y AF con E y F sobre Γ. Sean B y C puntos sobre los segmentos AE y AF respectivamente de tal manera que BC también es tangente a Γ. Sea J la intersección de BD con EF. Demuestra que el ángulo CJB es un ángulo recto.
Problema 5 Estatal 2022
Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:
(3)(2x) + 4 = n2
Matrimonios en una mesa
A una cena llegan 3 matrimonios. Se quieren sentar alrededor de una mesa redonda de manera que nadie quede junto a su pareja. ¿De cuántas formas se pueden acomodar si Ana ya tiene un lugar asignado fijo?
El 3 del estatal 2022
Encuentra todos los valores para n de tal forma que la expresión
6n+1
sea un número con todos sus dígitos iguales.
Juego con una bolsa de 2022 piedras
Julieta y Edwin juegan al siguiente juego. Se empieza con una bolsa que contiene 2022 piedras. Se juega por turnos alternados y cada jugador puede hacer lo siguiente:
- Si el número de piedras en la bolsa es par, el jugador puede tomar una piedra o la mitad de las piedras.
- Si el número de la bolsa es impar, tiene que tomar una sola piedra.
Gana quien tome la última piedra. Julieta empieza el juego.
Determina quién tiene una estrategia ganadora y explícala.
Mesa hexagonal con mantel rectangular
Carlos tiene una mesa en forma de hexágono regular y un mantel rectangular con área 2022 que cubre un rectángulo de la mesa formado por exactamente dos lados paralelos de la mesa como bases del rectángulo. ¿Cuál es el área de la mesa?
El difícil de la segunda ronda (el 4)
Tenemos 16 mosaicos que tienen dos cuartos de circunferencia centradas en esquinas opuestas cuyo radio es la mitad del lado de la baldosa como se muestra:
Pon a prueba tu vista
En el trapecio ABCD de bases AB y CD, las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí. Los Segmentos AB y BD miden 20 m y 17 m respectivamente. El área del triángulo ABD es 102 m2. ¿Cuántos metros mide el lado CD?
El número de Belmaris
André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?
Las prendas de Mauricio
Mauricio se está probando ropa en una tienda. Está indeciso entre 4 camisas, 7 suéteres, 3 sudaderas y 3 pantalones, todos estos artículos distintos. Comprará exactamente 3 artículos, todos de diferentes tipos (es decir, no dos camisas y un suéter o tres pantalones, etc.). ¿De cuántas formas Mauricio podrá hacer sus compras?
Problema 4. 21a OMM Final Estatal
Dos personas A y B van a jugar un juego alternando turnos; A toma el primer turno. Para el juego está dibujada sobre un papel una cuadrícula de 7 × 7. En cada turno se borran algunos de los cuadritos como sigue: El jugador en turno escoge un cuadrito y borra toda la columna y el renglón a los que pertenece ese cuadrito dentro de la porción rectangular donde está en ese momento el cuadrito. Por ejemplo, si al principio A escoge
el cuadrito marcado con 1 en la figura (a) de abajo, a B le queda la figura (b) y, si él escoge el cuadrito marcado con 2, entonces para el siguiente turno a A le queda la figura (c).
Problema 3. 21a OMM Final Estatal
En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.
