Necesario organizar en casos

Observamos por casos. Primeramente vemos que:

$I)$ Si el número tiene exactamente 2 dígitos iguales. En este caso tenemos dos subcasos:

       $a)$ Si el número usa 2 dígitos iguales y 4 veces otro dígito. En este subcaso hay $\binom{5}{2} = 10$ formas de escoger los dos dígitos que formarán el número, $\binom{2}{1} = 2$ formas de elegir cual será el que se repita 2 veces (y por tanto el otro 4 veces), y $\binom{6}{2} = 15$ formas de elegir 2 "espacios" para los 2 dígitos iguales (los otros 4 irían en los "espacios" restantes). Luego en este subcaso hay $10 \cdot 2 \cdot 15 = 300$ números.

      $b)$ Si el número usa 3 dígitos cada uno 2 veces. Hay $\binom{5}{3} =10$ formas de elegir los 3 dígitos, y $\binom{6}{2} = 15$ formas de escoger 2 espacios para un dígito y como ya se escogieron 2,  $\binom{4}{2} = 6$ formas de escoger 2 espacios para otro dígito, y el 3ro quedaría en los espacios sobrantes. Luego hay para este subcaso hay $10 \cdot 15 \cdot 6 = 900$ números

$II)$ Si el número tiene exactamente 3 dígitos iguales, y por la restricción de que si aparece un dígito debe estar al menos dos veces, sólo hay cabida para que otro dígito aparezca 3 veces. Así, hay $\binom{5}{2} = 10$ formas de elegir los dos dígitos y $\binom{6}{3} = 20$ formas de escoger 3 espacios para un dígito (y el 3 en los sobrantes). Luego en este caso hay $10 \cdot 20= 200$ números.

$II)$ Si el número tiene 6 dígitos iguales, entonces hay $\binom{5}{1} =5$ formas de elegir el dígito que formará el número. Así que en este caso hay 5 números.

Finalmente hay 300+900+200+5=1405 números que cumplen las condiciones.