Consideremos los números $a, 2a, 3a, \dots , (p-1)a$. Cada uno de éstos número tiene distinto residuo al dividir entre $ p$. Ya que, si $ia \equiv ja \pmod{p}$ y como $ p$ y $ a$ son primos relaivos (pues $ p$ no divide a $ a$) se tendrá que $ i \equiv j \pmod{p}$.
Ahora, como $ i$ e $ j$ son residuos de $ p$ y son congruentes, deberá de ser que $ i = j$.
Como todos los números $a, 2a, 3a, \dots , (p-1)a$ tienen distinto residuo y ninguo de ellos tiene residuo cero, entonces, cada uno de esos número será congruente con uno y sólo uno de los residuos $1, 2, 3, \dots, {p-1}$.
Por ello, se puede escribir la congruencia:
$$a \cdot 2a \cdot 3a \cdots (p-1) \equiv 1\cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \pmod{p}$$
entonces,
$$[(p-1)!]a^{p-1} \equiv (p-1)! \pmod{p}$$
Como $(p-1)!$ es primos relativo con $ p$ se puede cancelar $(p-1)!$ en ambos lados de la congruencia. Y como consecuencia se tendrá que:
$$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $$
