Consideremos el siguiente problema apoyados en la figura: demostrar la concurrencia de la línea media MN, la bisectriz de B, y la cuerda PQ (P, Q son los puntos de tangencia del incírculo con los lados AB y AC).
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Solución
Con la cuerda y la bisectriz cruzando en T, trazamos MT. Vamos a demostrar que MT es línea media.
Primero observamos el triángulo BIC y descubrimos que el ángulo TIC es externo. Por tanto mide la suma de los ángulos en la base BC de BIC, es decir, 90-A/2.
Después observamos el isósceles APQ (tangentes iguales) y descubrimos que el ángulo TQC mide 90-A/2 (la bisectriz de A es mediatriz de PQ). ¿Qué vemos ahora que sabemos que los ángulos TIC y TQC son iguales?
Lo que se manifiesta ante nuestros ojos es que el cuadrilátero IQTC es cíclico. De aquí que el ángulo ITC es recto. ¿Y qué se revela con este descubrimiento?
Lo que se revela cuando descubrimos que el triángulo BTC es rectángulo en T es que MT es mediana a la hipotenusa. Y todo mundo debería saber que la mediana a la hipotenusa forma dos isósceles con los catetos. En este caso, se descubre que MT=BM=MC. Y en el isósceles BTM podemos ver que el ángulo TMC mide lo mismo que B (por ser externo). ¿Y que se manifiesta con esta igualdad?
Se manifiesta entonces que en la configuración de las rectas AB y TM, y la transversal BC, dos ángulos correspondientes son iguales. Es decir, AB//TM. Pero M es punto medio de BC. Por tanto, MT es línea media de los lados BC y CA en el triángulo ABC.
Esto demuestra la concurrencia de la línea media, la cuerda y la bisectriz. Pero como subproducto podemos decir más. Si llamamos S al punto de concurrencia de la bisectriz del ángulo C, la línea media de AB y BC y la cuerda PQ, podemos inventar un problema de olimpiada: demostrar que el triángulo STM es equilátero si y sólo si el ángulo A mide 60 grados. (Muy ingenioso de parte del Dr. Jacob... las gracias le sean dadas por dedicarle tiempo a explorar las posibilidades de teoremas conocidos --aunque de bajísimo perfil-- como fuente de problemas de olimpiada...)
Nota: La demostración anterior es una reconstrucción de varias sugerencias de Jesús Rodríguez Viorato a una posible solución del problema 2 del concurso irracional. Al verlo, Jesús rápidamente pudo traer a presencia el teorema de concurrencia que aquí se demuestra (las gracias le sean dadas por mantener su afición a los problemas de olimpiada). Pero el problema tiene un alto grado de dificultad para quien no sea olímpico internacional... por lo menos así se puso de manifiesto en las discusiones posteriores a la aplicación del examen irracional a la preselección Tamaulipas el fin de semana pasado en Tampico...
Los saluda
jmd
PD: mañana pongo un recordatorio del norestense, sobre todo sobre la logística de traslado y el programa de actividades... (google no pudo encontrar el sitio web del norestense, así que mejor le escribo a los organizadores...)
Un invitado de Baja
Un invitado de Baja California Sur escribió esto en el ShoutBox de Matetam:
"si me pueden echar la mano , no me queda claro porque se afirma que el angulo ITC es recto por el hecho de que el rectangulo IQTC es ciclico, les agradecere si me amplian la informacion mi correo es «Email» muchas gracias"
Mi respuesta a su pregunta es:
Como el cuadrilátero IQCT es cíclico se tiene que el ángulo ITC es igual al ángulo IQC. Pero el ángulo IQC es recto, ya que IQ es un radio del incírculo y Q es el punto de tangencia del incírculo con la recta QC.
Saludos.
Hola soy profesor de dibujo y
Hola soy profesor de dibujo y me gustaría saber si puedes ayudarme en la resolución de un problema de triángulos. Los datos serían Un ángulo, la bisectriz respecto de ese ángulo y la mediana opuesta a dicho ángulo. Osea angulo B, Bisectriz de B y mediana ma. No se si existe una relación entre bisectriz y mediana o algo que me ayude a resolverlo.
Muchas gracias.
Profe Gallego: Tienes que [2]
Profe Gallego:
Tienes que decir qué intentas hacer con esos datos. Es decir, das los datos pero no la pregunta.
Gracias por el comentario
Saludos
jmd
Profesor Gallego: También [3]
Profesor Gallego:
También sería bueno saber lo siguiente:
1. Cuando dices que tienes el ángulo, ¿te refieres a la medida o también al vértice?¿O sólo dos rayos?
2. Cuando dices que tienes la bisectriz, ¿te refieres a la longitud de la bisectriz?
3. Cuando dices que tienes la mediana opuesta a un vértice, ¿Te refieres a alguna de las otras dos medianas que no incluyen al vertice en cuestión?
4. Cuando dices que tienes la mediana ma, ¿Tienes el vertice M, el vertice A, o sólo la recta que pasa por M y A, o sólo la longitud del segmento MA?
Saludos.